Ensino Superior ⇒ Derivada Usando Definição de Limite Tópico resolvido

[thetruth]

[tex3](x+1)^{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x+1)^{3}[/tex3]

Tive dúvidas a calcular essa derivada usando a definição de limites, alguém poderia me esclarecer?

[AlguémMeHelp]

thetruth, oii!! Td bem cntigo?? Antes de partirmos para resolução, sugiro vc fazer numa folha de rascunho o seguinte produto notável: (a + b + c)^3 = [tex3]a^3\:+\:b^3\:+\:x^3\:+\:6abc\:+\:3\cdot (ac^2\:+\:bc^2\:+\:a^2c\:+\:a^2b\:+\:ab^2)[/tex3]

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[tex3]a^3\:+\:b^3\:+\:x^3\:+\:6abc\:+\:3\cdot (ac^2\:+\:bc^2\:+\:a^2c\:+\:a^2b\:+\:ab^2)[/tex3]

, será de bastante utilidade. Além desse, é importante saber o produtor (a + b)^3 = [tex3]a^3\:+\:3a^2b\:+\:3ab^2+b^3[/tex3]

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[tex3]a^3\:+\:3a^2b\:+\:3ab^2+b^3[/tex3]

. Agora que está munida, vamos à batalha haha:

Sabe-se que a definição de derivada por limite é dada por: [tex3]f'(x)\:=\:\lim_{\Delta x \rightarrow0}\:\:\;\frac{f(x\:+\:\Delta x)\:-\:f(x)}{\Delta x}[/tex3]

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[tex3]f'(x)\:=\:\lim_{\Delta x \rightarrow0}\:\:\;\frac{f(x\:+\:\Delta x)\:-\:f(x)}{\Delta x}[/tex3]

. Assim, jogando a função que vc pediu no post:

[tex3]f'[(x+1)^3]\:=\:\lim_{\Delta x \rightarrow0}\:\:\;\frac{(x\:+\:\Delta x\:+\:1)^3\:-\:(x\:+\:1)^3}{\Delta x}[/tex3]

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[tex3]f'[(x+1)^3]\:=\:\lim_{\Delta x \rightarrow0}\:\:\;\frac{(x\:+\:\Delta x\:+\:1)^3\:-\:(x\:+\:1)^3}{\Delta x}[/tex3]

. Valendo-se dos produtos desenvolvidos inicialmente:

[tex3]f'[(x+1)^3]\:=\:\lim_{\Delta x \rightarrow0}\:\:\;\frac{[x^3\:+\:\Delta x^3\:+\:1\:+\:6\cdot x \cdot \Delta x\:+\:3\cdot(x\:+\:\Delta x\:+\:x^2\:+\:x\cdot \Delta x^2\:+\:x^2\cdot \Delta x)]\:-\:(x^3\:+\:3\cdot x^2\:+\:3\cdot x\:+\:1)}{\Delta x}[/tex3]

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[tex3]f'[(x+1)^3]\:=\:\lim_{\Delta x \rightarrow0}\:\:\;\frac{[x^3\:+\:\Delta x^3\:+\:1\:+\:6\cdot x \cdot \Delta x\:+\:3\cdot(x\:+\:\Delta x\:+\:x^2\:+\:x\cdot \Delta x^2\:+\:x^2\cdot \Delta x)]\:-\:(x^3\:+\:3\cdot x^2\:+\:3\cdot x\:+\:1)}{\Delta x}[/tex3]

. Operacionando, somando, subtraindo, etc, obtem-se:

[tex3]f'[(x+1)^3]\:=\:\lim_{\Delta x \rightarrow0}\:\:\;\frac{\Delta x^3\:+\:6\cdot x \cdot \Delta x\:+\:3\cdot \Delta x \cdot (1\:+\:x\cdot \Delta x\:+\:x^2)}{\Delta x}\;\;\;\Rightarrow\;\;\;f'[(x+1)^3]\:=\:\lim_{\Delta x \rightarrow0}\:\:\;\Delta x^2\:+\:6\cdot x \:+\:3 \cdot (1\:+\:x\cdot \Delta x\:+\:x^2) [/tex3]

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[tex3]f'[(x+1)^3]\:=\:\lim_{\Delta x \rightarrow0}\:\:\;\frac{\Delta x^3\:+\:6\cdot x \cdot \Delta x\:+\:3\cdot \Delta x \cdot (1\:+\:x\cdot \Delta x\:+\:x^2)}{\Delta x}\;\;\;\Rightarrow\;\;\;f'[(x+1)^3]\:=\:\lim_{\Delta x \rightarrow0}\:\:\;\Delta x^2\:+\:6\cdot x \:+\:3 \cdot (1\:+\:x\cdot \Delta x\:+\:x^2) [/tex3]

. Agora, basta aplicar o limite

[tex3]f'[(x+1)^3]\:=\:6\cdot x \:+\:3\cdot (1\:+\:x^2)\;\;\;\;\;\;\;\;\therefore\;\;f'[(x+1)^3]\:=\:3x^2\:+\:6x\:+\:3[/tex3]

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[tex3]f'[(x+1)^3]\:=\:6\cdot x \:+\:3\cdot (1\:+\:x^2)\;\;\;\;\;\;\;\;\therefore\;\;f'[(x+1)^3]\:=\:3x^2\:+\:6x\:+\:3[/tex3]

Espero ter ajudado Lanço pra ti agora um desafio kkkk Suponha que haja 2 funções: [tex3]f(x)\:\:e\:\:g(x)[/tex3]

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[tex3]f(x)\:\:e\:\:g(x)[/tex3]

; mas [tex3]f(x)\:=\:\[ g(x) \]^n[/tex3]

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[tex3]f(x)\:=\:\[ g(x) \]^n[/tex3]

. Demonstre, utilizando a definição de derivada por limite, que [tex3]f'(x)\:=\:n\cdot \[g(x)\]^{n-1}\:\:\cdot g'(x)[/tex3]

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[tex3]f'(x)\:=\:n\cdot \[g(x)\]^{n-1}\:\:\cdot g'(x)[/tex3]

. É um bom exercício para ajudar a fixar, e exige um pouco de domínio de séries (não que precise ter estudado já o que chama de cálculo 3, dependendo do autor; eu mesmo ainda não estudei). Se precisar de ajudar, ou sentir curiosidade, cria um tópico aqui no fórum dps

[thetruth]

thetruth, oii!! Td bem cntigo?? Antes de partirmos para resolução, sugiro vc fazer numa folha de rascunho o seguinte produto notável: (a + b + c)^3 = [tex3]a^3\:+\:b^3\:+\:x^3\:+\:6abc\:+\:3\cdot (ac^2\:+\:bc^2\:+\:a^2c\:+\:a^2b\:+\:ab^2)[/tex3]

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[tex3]a^3\:+\:b^3\:+\:x^3\:+\:6abc\:+\:3\cdot (ac^2\:+\:bc^2\:+\:a^2c\:+\:a^2b\:+\:ab^2)[/tex3]

, será de bastante utilidade. Além desse, é importante saber o produtor (a + b)^3 = [tex3]a^3\:+\:3a^2b\:+\:3ab^2+b^3[/tex3]

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[tex3]a^3\:+\:3a^2b\:+\:3ab^2+b^3[/tex3]

. Agora que está munida, vamos à batalha haha:

Sabe-se que a definição de derivada por limite é dada por: [tex3]f'(x)\:=\:\lim_{\Delta x \rightarrow0}\:\:\;\frac{f(x\:+\:\Delta x)\:-\:f(x)}{\Delta x}[/tex3]

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[tex3]f'(x)\:=\:\lim_{\Delta x \rightarrow0}\:\:\;\frac{f(x\:+\:\Delta x)\:-\:f(x)}{\Delta x}[/tex3]

. Assim, jogando a função que vc pediu no post:

[tex3]f'[(x+1)^3]\:=\:\lim_{\Delta x \rightarrow0}\:\:\;\frac{(x\:+\:\Delta x\:+\:1)^3\:-\:(x\:+\:1)^3}{\Delta x}[/tex3]

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. Valendo-se dos produtos desenvolvidos inicialmente:

[tex3]f'[(x+1)^3]\:=\:\lim_{\Delta x \rightarrow0}\:\:\;\frac{[x^3\:+\:\Delta x^3\:+\:1\:+\:6\cdot x \cdot \Delta x\:+\:3\cdot(x\:+\:\Delta x\:+\:x^2\:+\:x\cdot \Delta x^2\:+\:x^2\cdot \Delta x)]\:-\:(x^3\:+\:3\cdot x^2\:+\:3\cdot x\:+\:1)}{\Delta x}[/tex3]

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[tex3]f'[(x+1)^3]\:=\:\lim_{\Delta x \rightarrow0}\:\:\;\frac{[x^3\:+\:\Delta x^3\:+\:1\:+\:6\cdot x \cdot \Delta x\:+\:3\cdot(x\:+\:\Delta x\:+\:x^2\:+\:x\cdot \Delta x^2\:+\:x^2\cdot \Delta x)]\:-\:(x^3\:+\:3\cdot x^2\:+\:3\cdot x\:+\:1)}{\Delta x}[/tex3]

. Operacionando, somando, subtraindo, etc, obtem-se:

[tex3]f'[(x+1)^3]\:=\:\lim_{\Delta x \rightarrow0}\:\:\;\frac{\Delta x^3\:+\:6\cdot x \cdot \Delta x\:+\:3\cdot \Delta x \cdot (1\:+\:x\cdot \Delta x\:+\:x^2)}{\Delta x}\;\;\;\Rightarrow\;\;\;f'[(x+1)^3]\:=\:\lim_{\Delta x \rightarrow0}\:\:\;\Delta x^2\:+\:6\cdot x \:+\:3 \cdot (1\:+\:x\cdot \Delta x\:+\:x^2) [/tex3]

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[tex3]f'[(x+1)^3]\:=\:\lim_{\Delta x \rightarrow0}\:\:\;\frac{\Delta x^3\:+\:6\cdot x \cdot \Delta x\:+\:3\cdot \Delta x \cdot (1\:+\:x\cdot \Delta x\:+\:x^2)}{\Delta x}\;\;\;\Rightarrow\;\;\;f'[(x+1)^3]\:=\:\lim_{\Delta x \rightarrow0}\:\:\;\Delta x^2\:+\:6\cdot x \:+\:3 \cdot (1\:+\:x\cdot \Delta x\:+\:x^2) [/tex3]

. Agora, basta aplicar o limite

[tex3]f'[(x+1)^3]\:=\:6\cdot x \:+\:3\cdot (1\:+\:x^2)\;\;\;\;\;\;\;\;\therefore\;\;f'[(x+1)^3]\:=\:3x^2\:+\:6x\:+\:3[/tex3]

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[tex3]f'[(x+1)^3]\:=\:6\cdot x \:+\:3\cdot (1\:+\:x^2)\;\;\;\;\;\;\;\;\therefore\;\;f'[(x+1)^3]\:=\:3x^2\:+\:6x\:+\:3[/tex3]

Espero ter ajudado Lanço pra ti agora um desafio kkkk Suponha que haja 2 funções: [tex3]f(x)\:\:e\:\:g(x)[/tex3]

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[tex3]f(x)\:\:e\:\:g(x)[/tex3]

; mas [tex3]f(x)\:=\:\[ g(x) \]^n[/tex3]

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[tex3]f(x)\:=\:\[ g(x) \]^n[/tex3]

. Demonstre, utilizando a definição de derivada por limite, que [tex3]f'(x)\:=\:n\cdot \[g(x)\]^{n-1}\:\:\cdot g'(x)[/tex3]

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[tex3]f'(x)\:=\:n\cdot \[g(x)\]^{n-1}\:\:\cdot g'(x)[/tex3]

. É um bom exercício para ajudar a fixar, e exige um pouco de domínio de séries (não que precise ter estudado já o que chama de cálculo 3, dependendo do autor; eu mesmo ainda não estudei). Se precisar de ajudar, ou sentir curiosidade, cria um tópico aqui no fórum dps

confesso que essa eu passei meio longe de resolver, muito obrigado por mostrar a resolução.

ajudou muito nos meus estudos