Antes, vale a pena relembrar que o momento relativístico é dado por [tex3]p=\gamma\cdot m v[/tex3], em que [tex3]\gamma[/tex3] é o fator de Lorentz, dado por: [tex3]\gamma=\[1-\(\frac{v}{c}\)^{2}\]^{-\frac{1}{2}}[/tex3]; além disso, vale a pena salientar que a força é dada por: [tex3]F=\frac{dp}{dt}[/tex3].
Vamos recorrer, agora, ao teorema da energia cinética, o qual afirma que o trabalho realizado por uma força é igual à variação da energia cinética. Suponha que uma força irá realizar trabalho sobre um corpo de massa [tex3]m[/tex3] de uma distância de 0 m até x m , sendo que na posição 0 m a velocidade é nula e que na posição x m a velocidade é [tex3]v[/tex3] . Assim:
[tex3]W=\int\limits_{0}^{x}Fdx=\Delta K \rightarrow \int\limits_{0}^{x}\frac{dp}{dt}dx=K-0 \rightarrow \boxed{\int\limits_{0}^{p}vdp=K}\hspace{10pt} \color{red}{\text{(i)}} [/tex3], em que K é a energia cinética e [tex3]\frac{dx}{dt}=v[/tex3].
Para prosseguir, vamos derivar a equação do momento relativístico em relação à velocidade:
[tex3]\frac{dp}{dv} =\frac{d[\gamma\cdot m v]}{dv} \rightarrow\frac{dp}{dv} =m\cdot \(\frac{d[\gamma]}{dv}\cdot v+\frac{d[v]}{dv}\cdot\gamma\) \rightarrow\\
\frac{dp}{dv} =m\cdot\[-\frac{1}{2}\cdot\(1- \(\frac{v}{c}\)^{2}\)^{-1.5}\cdot \frac{(-2v)}{c^{2}}\cdot v+1\cdot\[1-\(\frac{v}{c}\)^{2}\]^{-\frac{1}{2}}\] [/tex3]
Colocando em evidência o fator de Lorentz:
[tex3]\frac{dp}{dv} =m\cdot \[1-\(\frac{v}{c}\)^{2}\]^{-0.5} \cdot \(\frac{v^{2}}{c^{2}}\cdot\[1-\(\frac{v}{c}\)^{2}\]^{-1}+1\) \rightarrow \\
\frac{dp}{dv} =m\cdot \[1-\(\frac{v}{c}\)^{2}\]^{-0.5} \cdot \[\frac{v^{2}}{c^{2}}\cdot\(\frac{c^{2}}{c^{2}-v^{2}}\)+1\]=m\cdot\gamma\cdot\(\frac{c^{2}}{c^{2}-v^{2}}\)\rightarrow \\
\frac{dp}{dv} =m\cdot \[1-\(\frac{v}{c}\)^{2}\]^{-\frac{1}{2}}\cdot\(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\)^{-1} \therefore \\
\boxed{dp =m \cdot\(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\)^{-1.5}dv}\hspace{10pt}\color{red}{\text{(ii)}}[/tex3]
Substituindo [tex3]dp[/tex3] da equação [tex3]\color{red}{\text{(ii)}}[/tex3] na equação [tex3]\color{red}{\text{(i)}}[/tex3], temos:
[tex3]\int\limits_{0}^{p}vdp=K\rightarrow \int\limits_{0}^{v}v\cdot m \cdot\(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\)^{-1.5}dv=K[/tex3]
Fazendo-se [tex3]u= 1-\frac{v^{2}}{c^{2}}[/tex3], e derivando [tex3]u[/tex3] em relação à velocidade [tex3]v[/tex3], tem-se que:
[tex3]\frac{d[u]}{dv}=\frac{d}{dv}\[1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\]= -2\cdot\frac{v}{c^{2}} \rightarrow du=-2\cdot\frac{v}{c^{2}}\cdot dv[/tex3] ou melhor: [tex3]dv=-\frac{c^{2}}{2v}\cdot du[/tex3].
Dessa forma:
[tex3]\int\limits_{0}^{v}v\cdot m \cdot\(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\)^{-1.5}dv=K\rightarrow K=\int\limits_{1}^{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}v\cdot m \cdot(u)^{-1.5}\(-\frac{c^{2}}{2v}\cdot du\) \rightarrow K=\frac{-mc^{2}}{2}\int\limits_{1}^{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}} (u)^{-1.5}\cdot du[/tex3].
Resolvendo essa integral básica:
[tex3]K=\frac{-mc^{2}}{2}\cdot \[-2\cdot u^{-0.5}\]_{1}^{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\rightarrow K= m\cdot c^{2}\cdot \[\(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\)^{-0.5}-1\]\rightarrow K=mc^{2}\cdot(\gamma-1)[/tex3]
Eis a equação com a qual se pode determinar a energia cinética relativística. Prosseguindo e reorganizando os termos:
[tex3]K=mc^{2}\cdot(\gamma-1) \rightarrow K=mc^{2}\cdot \gamma-mc^{2}[/tex3]
Segundo consta em livros como Halliday (não sei informar se essa parte de energia total foi afirmada por Einstein, se alguém souber comenta aquiiii
), a energia total de um dado objeto, supondo que a energia potencial seja nula, é dada por [tex3]\varepsilon=\gamma mc^{2}[/tex3]. Então:[tex3]K +mc^{2}=\gamma mc^{2} \therefore \varepsilon=K+mc^{2}[/tex3], em que [tex3]mc^{2}[/tex3] representa a energia de repouso (lembra que láaa no início o intervalo da primeira integral era entre 0 e x??).
Resposta
Finalmente: [tex3]E_{\text{repouso}}=mc^{2},c.q.d.[/tex3]
