Olá caros usuários.

Primeiramente, peço-lhes desculpas pelo ocorrido.

Fui fazer a atualização do software do fórum e, como se eu fosse um novato, cometi um erro crasso que derrubou o fórum.

Novato pois não havia feito o backup imediatamente antes.

O único backup disponível era do dia 21 pela manhã.

Ou seja, todas mensagens enviadas durante o dia 21 e dia 22 foram perdidas 😞 Incluindo os novos usuários registrados nesses dias.

Estou extremamente chateado com o ocorrido e peço a vocês, novamente, mil desculpas por uma mancada enorme dessas.

Grande abraço,
Prof. Caju

DemonstraçõesDemonstração - E=mc^2 (Mecânica Quântica)

Fórum de coleânea das melhores demonstrações de teoremas de física.
Se você quiser postar uma demonstração, poste no fórum correspondente com o títuo "Demonstração Teorema X" e substitua com o nome do teorema/fórmula que você postou. Somente moderadores poderão mover sua mensagem para este fórum.
Avatar do usuário
AlguémMeHelp
1 - Trainee
Mensagens: 70
Registrado em: 06 Dez 2018, 17:08
Última visita: 07-03-24
Agradeceu: 13 vezes
Agradeceram: 24 vezes
Dez 2018 07 01:51

Demonstração - E=mc^2 (Mecânica Quântica)

Mensagem por AlguémMeHelp »

Eae, pessoal, blz?? Trago aqui uma interessante demonstração da famigerada equação de Einstein, através da mecânica quântica. Sei que há outras demonstrações (mais 3) propostas pelo próprio Einstein em diferentes datas, mas achei essa incrível... como tudo se encaixa, cara!!

Antes, vale a pena relembrar que o momento relativístico é dado por [tex3]p=\gamma\cdot m v[/tex3], em que [tex3]\gamma[/tex3] é o fator de Lorentz, dado por: [tex3]\gamma=\[1-\(\frac{v}{c}\)^{2}\]^{-\frac{1}{2}}[/tex3]; além disso, vale a pena salientar que a força é dada por: [tex3]F=\frac{dp}{dt}[/tex3].

Vamos recorrer, agora, ao teorema da energia cinética, o qual afirma que o trabalho realizado por uma força é igual à variação da energia cinética. Suponha que uma força irá realizar trabalho sobre um corpo de massa [tex3]m[/tex3] de uma distância de 0 m até x m , sendo que na posição 0 m a velocidade é nula e que na posição x m a velocidade é [tex3]v[/tex3] . Assim:

[tex3]W=\int\limits_{0}^{x}Fdx=\Delta K \rightarrow \int\limits_{0}^{x}\frac{dp}{dt}dx=K-0 \rightarrow \boxed{\int\limits_{0}^{p}vdp=K}\hspace{10pt} \color{red}{\text{(i)}} [/tex3], em que K é a energia cinética e [tex3]\frac{dx}{dt}=v[/tex3].

Para prosseguir, vamos derivar a equação do momento relativístico em relação à velocidade:

[tex3]\frac{dp}{dv} =\frac{d[\gamma\cdot m v]}{dv} \rightarrow\frac{dp}{dv} =m\cdot \(\frac{d[\gamma]}{dv}\cdot v+\frac{d[v]}{dv}\cdot\gamma\) \rightarrow\\
\frac{dp}{dv} =m\cdot\[-\frac{1}{2}\cdot\(1- \(\frac{v}{c}\)^{2}\)^{-1.5}\cdot \frac{(-2v)}{c^{2}}\cdot v+1\cdot\[1-\(\frac{v}{c}\)^{2}\]^{-\frac{1}{2}}\] [/tex3]

Colocando em evidência o fator de Lorentz:

[tex3]\frac{dp}{dv} =m\cdot \[1-\(\frac{v}{c}\)^{2}\]^{-0.5} \cdot \(\frac{v^{2}}{c^{2}}\cdot\[1-\(\frac{v}{c}\)^{2}\]^{-1}+1\) \rightarrow \\
\frac{dp}{dv} =m\cdot \[1-\(\frac{v}{c}\)^{2}\]^{-0.5} \cdot \[\frac{v^{2}}{c^{2}}\cdot\(\frac{c^{2}}{c^{2}-v^{2}}\)+1\]=m\cdot\gamma\cdot\(\frac{c^{2}}{c^{2}-v^{2}}\)\rightarrow \\
\frac{dp}{dv} =m\cdot \[1-\(\frac{v}{c}\)^{2}\]^{-\frac{1}{2}}\cdot\(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\)^{-1} \therefore \\
\boxed{dp =m \cdot\(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\)^{-1.5}dv}\hspace{10pt}\color{red}{\text{(ii)}}[/tex3]

Substituindo [tex3]dp[/tex3] da equação [tex3]\color{red}{\text{(ii)}}[/tex3] na equação [tex3]\color{red}{\text{(i)}}[/tex3], temos:

[tex3]\int\limits_{0}^{p}vdp=K\rightarrow \int\limits_{0}^{v}v\cdot m \cdot\(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\)^{-1.5}dv=K[/tex3]

Fazendo-se [tex3]u= 1-\frac{v^{2}}{c^{2}}[/tex3], e derivando [tex3]u[/tex3] em relação à velocidade [tex3]v[/tex3], tem-se que:

[tex3]\frac{d[u]}{dv}=\frac{d}{dv}\[1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\]= -2\cdot\frac{v}{c^{2}} \rightarrow du=-2\cdot\frac{v}{c^{2}}\cdot dv[/tex3] ou melhor: [tex3]dv=-\frac{c^{2}}{2v}\cdot du[/tex3].

Dessa forma:

[tex3]\int\limits_{0}^{v}v\cdot m \cdot\(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\)^{-1.5}dv=K\rightarrow K=\int\limits_{1}^{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}v\cdot m \cdot(u)^{-1.5}\(-\frac{c^{2}}{2v}\cdot du\) \rightarrow K=\frac{-mc^{2}}{2}\int\limits_{1}^{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}} (u)^{-1.5}\cdot du[/tex3].

Resolvendo essa integral básica:

[tex3]K=\frac{-mc^{2}}{2}\cdot \[-2\cdot u^{-0.5}\]_{1}^{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\rightarrow K= m\cdot c^{2}\cdot \[\(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\)^{-0.5}-1\]\rightarrow K=mc^{2}\cdot(\gamma-1)[/tex3]

Eis a equação com a qual se pode determinar a energia cinética relativística. Prosseguindo e reorganizando os termos:

[tex3]K=mc^{2}\cdot(\gamma-1) \rightarrow K=mc^{2}\cdot \gamma-mc^{2}[/tex3]

Segundo consta em livros como Halliday (não sei informar se essa parte de energia total foi afirmada por Einstein, se alguém souber comenta aquiiii :D), a energia total de um dado objeto, supondo que a energia potencial seja nula, é dada por [tex3]\varepsilon=\gamma mc^{2}[/tex3]. Então:

[tex3]K +mc^{2}=\gamma mc^{2} \therefore \varepsilon=K+mc^{2}[/tex3], em que [tex3]mc^{2}[/tex3] representa a energia de repouso (lembra que láaa no início o intervalo da primeira integral era entre 0 e x??).
Resposta

Finalmente: [tex3]E_{\text{repouso}}=mc^{2},c.q.d.[/tex3]
Espero que curtam, comentaaam, apontem os erros, se tiver, debatam! Tmj!! (galera, se puderem me ajudar com a dúvida que tenho em química, sobre entalpia e entalpia molar, agradeceria dmsss)

Editado pela última vez por caju em 08 Dez 2018, 10:11, em um total de 2 vezes.
Razão: arrumar tex.
Movido de Física I para Demonstrações em 07 Dez 2018, 18:09 por caju

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Resp.
    Exibições
    Últ. msg

Voltar para “Demonstrações”