Ensino Superior ⇒ intregal Tópico resolvido

[Leleco075]

utilizando a integração por partes podemos mostrar que: [tex3]\int\limits_{}^{}xe^{-x}dx=-xe^{-x}-e^{-x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}xe^{-x}dx=-xe^{-x}-e^{-x}[/tex3]

assim, considere a seguinte equação: [tex3]\int\limits_{}^{}x²e^{-x}dx=F[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}x²e^{-x}dx=F[/tex3]

podemos afirmar que:

a) [tex3]F=-e^{-x}(x²+2x+1)+C[/tex3]

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[tex3]F=-e^{-x}(x²+2x+1)+C[/tex3]

b) [tex3]F=-e^{-x}(x²+x+2)+C[/tex3]

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[tex3]F=-e^{-x}(x²+x+2)+C[/tex3]

c) [tex3]F=e^{-x}(3x²+2x+2)+C[/tex3]

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[tex3]F=e^{-x}(3x²+2x+2)+C[/tex3]

d) [tex3]F=-e^{-x}(x²+2x+2)+C[/tex3]

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[tex3]F=-e^{-x}(x²+2x+2)+C[/tex3]

[erihh3]

[tex3]F=\int\limits_{}^{}x^2e^{-x}dx[/tex3]

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[tex3]F=\int\limits_{}^{}x^2e^{-x}dx[/tex3]

Integrando por partes:

Faremos as seguintes substituições:

[tex3]u=x^2\Rightarrow \mathrm{d}u=2x.\mathrm{d}x[/tex3]

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[tex3]u=x^2\Rightarrow \mathrm{d}u=2x.\mathrm{d}x[/tex3]

[tex3]\mathrm{d}v=e^{-x}\mathrm{d}x\Rightarrow v=-e^{-x}[/tex3]

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[tex3]\mathrm{d}v=e^{-x}\mathrm{d}x\Rightarrow v=-e^{-x}[/tex3]

Substituindo na fórmula da integral por partes, tem-se:

[tex3]\int\limits_{}^{}u.\mathrm{d}v=u.v-\int\limits_{}^{}v.\mathrm{d}u+C,\quad C\in\mathbb{R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}u.\mathrm{d}v=u.v-\int\limits_{}^{}v.\mathrm{d}u+C,\quad C\in\mathbb{R}[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}x^2.e^{-x}\mathrm{d}x=x^2.(-e^{-x})-\int\limits_{}^{}(-e^{-x}).2x\mathrm{d}x+C[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}x^2.e^{-x}\mathrm{d}x=x^2.(-e^{-x})-\int\limits_{}^{}(-e^{-x}).2x\mathrm{d}x+C[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}x^2.e^{-x}\mathrm{d}x=-x^2.e^{-x}+2\int\limits_{}^{}e^{-x}.x\mathrm{d}x+C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}x^2.e^{-x}\mathrm{d}x=-x^2.e^{-x}+2\int\limits_{}^{}e^{-x}.x\mathrm{d}x+C[/tex3]

Substituindo o resultado da integral dada no enunciado, tem-se:

[tex3]\int\limits_{}^{}x^2.e^{-x}\mathrm{d}x=-x^2.e^{-x}+2(-xe^{-x}-e^{-x})+C[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}x^2.e^{-x}\mathrm{d}x=-x^2.e^{-x}+2(-xe^{-x}-e^{-x})+C[/tex3]

Isolando [tex3]e^{-x}[/tex3]

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[tex3]e^{-x}[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}x^2.e^{-x}\mathrm{d}x=-e^{-x}(x^2+2x+2)+C[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}x^2.e^{-x}\mathrm{d}x=-e^{-x}(x^2+2x+2)+C[/tex3]

Letra D