Ensino Superior ⇒ Série divergente Tópico resolvido

[FilipeDLQ]

Olá pessoal gostaria de saber como faço essa questão:

Mostre que [tex3]\frac{3x-1}{n^{2}-1}=\sum_{n=0}^{\infty }[2(-1)^{n}-1]x^{n},\space|x|<1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3x-1}{n^{2}-1}=\sum_{n=0}^{\infty }[2(-1)^{n}-1]x^{n},\space|x|<1[/tex3]

Desde já agradeço muito!

[Cardoso1979]

Olá FilipeDLQ, tem algo equivocado aí na função!

[tex3]\frac{3x-1}{n^{2}-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3x-1}{n^{2}-1}[/tex3]

, não faz sentido algum o "n" no denominador, porém eu resolvi como sendo [tex3]\frac{3x-1}{x^{2}-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3x-1}{x^{2}-1}[/tex3]

, mesmo assim não está batendo, a não ser que eu tenha me perdido aqui nos cálculos. O que eu encontrei foi:


[tex3]\sum_{n=0}^{∞}[3x(-1)^{2n+1}+1].x^{2n}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{n=0}^{∞}[3x(-1)^{2n+1}+1].x^{2n}[/tex3]

Você estava usando algum livro de cálculo? Se sim qual?

[Cardoso1979]

Eureca!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[Cardoso1979]

Observe

Mostre que [tex3]\frac{3x-1}{x^{2}-1}=\sum_{n=0}^{\infty }[2(-1)^{n}-1]x^{n},\space|x|<1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3x-1}{x^{2}-1}=\sum_{n=0}^{\infty }[2(-1)^{n}-1]x^{n},\space|x|<1[/tex3]

Solução

Usando frações parciais, temos

[tex3]\frac{3x-1}{x^2-1}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3x-1}{x^2-1}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}[/tex3]

[tex3]\frac{3x-1}{x^2-1}=\frac{Ax-A+Bx+B}{(x+1).(x-1)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3x-1}{x^2-1}=\frac{Ax-A+Bx+B}{(x+1).(x-1)}[/tex3]

[tex3]\frac{3x-1}{x^2-1}=\frac{(A+B).x+(-A+B)}{x^2-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3x-1}{x^2-1}=\frac{(A+B).x+(-A+B)}{x^2-1}[/tex3]

Igualando os coeficientes correspondentes, temos

[tex3]\begin{cases}
A+B=3→A=2 \\
-A+B=-1
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
A+B=3→A=2 \\
-A+B=-1
\end{cases}[/tex3]

---------------------------------
2B = 2 → B = 1

Assim,

[tex3]\frac{3x-1}{x^2-1}=\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3x-1}{x^2-1}=\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-1}[/tex3]

[tex3]\frac{3x-1}{x^2-1}=\frac{2}{1+x}-\frac{1}{1-x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3x-1}{x^2-1}=\frac{2}{1+x}-\frac{1}{1-x}[/tex3]

[tex3]\frac{3x-1}{x^2-1}=\frac{2}{1-(-x)}-\frac{1}{1-x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3x-1}{x^2-1}=\frac{2}{1-(-x)}-\frac{1}{1-x}[/tex3]

Vamos usar a série de Maclaurin para [tex3]\frac{1}{1-x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{1-x}[/tex3]

para determinarmos a série de Maclaurin para
[tex3]\frac{3x-1}{x^2-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3x-1}{x^2-1}[/tex3]

, temos

[tex3]\frac{3x-1}{x^2-1}=\frac{2}{1-(-x)}-\frac{1}{1-x}=2.(1-x+x^2-x^3+x^4+...)-1.(1+x+x^2+x^3+x^4+...) \ , \ |x| < 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3x-1}{x^2-1}=\frac{2}{1-(-x)}-\frac{1}{1-x}=2.(1-x+x^2-x^3+x^4+...)-1.(1+x+x^2+x^3+x^4+...) \ , \ |x| < 1[/tex3]

[tex3]\frac{3x-1}{x^2-1}=2.\sum_{n=0}^{∞}(-x)^n-1.\sum_{n=0}^{∞}x^n \ , \ |x| < 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3x-1}{x^2-1}=2.\sum_{n=0}^{∞}(-x)^n-1.\sum_{n=0}^{∞}x^n \ , \ |x| < 1[/tex3]

[tex3]\frac{3x-1}{x^2-1}=2.\sum_{n=0}^{∞}(-1)^nx^n-1.\sum_{n=0}^{∞}x^n \ , \ |x| < 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3x-1}{x^2-1}=2.\sum_{n=0}^{∞}(-1)^nx^n-1.\sum_{n=0}^{∞}x^n \ , \ |x| < 1[/tex3]

Portanto,

[tex3]\frac{3x-1}{x^2-1}=\sum_{n=0}^{∞}[2(-1)^n-1].x^n \ , \ |x| < 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3x-1}{x^2-1}=\sum_{n=0}^{∞}[2(-1)^n-1].x^n \ , \ |x| < 1[/tex3]

. C.q.m.


Obs. Você tem que usar a série geométrica [tex3]\sum_{n=0}^{∞}x^n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{n=0}^{∞}x^n[/tex3]

para fazer primeiro a substituição ( troca ) x por - x e depois a substituição x por x


Nota

O meu erro era porque eu NÃO estava aplicando frações parciais.



Bons estudos!