Pré-Vestibular ⇒ (PUC-SP) Números Complexos e Progressão Aritmética Tópico resolvido

[Liliana]

Seja Sn= [n(n-1)]/2 + [ni(3-n)/2], em que n ∈ R* e i é a unidade imaginária, a expressão da soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética. Se an é o enésimo termo dessa progressão aritmética, então a forma trigonométrica da diferença a15 – a16 é:

a) 2√2 [ cos 3pi/4 + isen 3pi/4]

b) 2√2 [cos 5pi/4 + isen 5pi/4]

c) 2√2 [cos 7pi/4 + isen 7pi/4]

d) √2 [cos 5pi/4 + isen 3pi/4]

e) √2 [cos 3pi/4 + isen 3pi/4]

Resposta

---

e)

Onde eu errei??

Considerando a fórmula genérica da soma de uma P.A: Sn= (a1 + an)n/2, e analisando a fórmula que o enunciado deu, então dá para fazer uma comparação
Sn= n/2 [(n-1) + i(3-n)]
Logo, (n-1) + i(3-n) = a1 + an

então, a1+a15= 14 + 12i (I)
a1 + a16= 15 + 13i (II)

Subtraindo (I)-(II)= -1-i
z= -1-i

No plano Argand-Gauss: eixo real -1 e eixo imaginário também -1, logo, o ângulo formado pelo afixo é de 45º
Como ele está no terceiro quadrante, o argumento será de 180º+45º= 225º ou 5pi/4, assim como |z|= √2.

Alguém pode apontar meu erro, por gentileza????

[Ittalo25]

Na fórmula é (3-n). Ficaria:

[tex3]\begin{cases}
a_1+a_{15}=14-12i \\
a_1+a_{16}=15-13i
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
a_1+a_{15}=14-12i \\
a_1+a_{16}=15-13i
\end{cases}[/tex3]

[tex3]a_{15} - a_{16} = 14-12i-15+13i = -1+i [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_{15} - a_{16} = 14-12i-15+13i = -1+i [/tex3]

Dá pra fazer também assim:

[tex3]S_n - S_{n-1} = a_n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S_n - S_{n-1} = a_n[/tex3]

[tex3]\frac{n\cdot (n-1 +i\cdot (3-n))}{2} - \frac{(n-1)\cdot (n-1-1 +i\cdot (3-n+1))}{2} = a_n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{n\cdot (n-1 +i\cdot (3-n))}{2} - \frac{(n-1)\cdot (n-1-1 +i\cdot (3-n+1))}{2} = a_n[/tex3]

[tex3]n-in-1+2i = a_n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n-in-1+2i = a_n[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
a_{15}=15-15i-1+2i=14-13i \\
c_{16}=16-16i-1+2i = 15-14i
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
a_{15}=15-15i-1+2i=14-13i \\
c_{16}=16-16i-1+2i = 15-14i
\end{cases}[/tex3]

[tex3]a_{15}-a_{16} = 14-13i-15+14i = \boxed {-1+i} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_{15}-a_{16} = 14-13i-15+14i = \boxed {-1+i} [/tex3]