Ensino Superior ⇒ Fenomenos do transporte valor altura Tópico resolvido

[johnatta]

Água escoa, em regime permanente, na tubulação mostrada na Figura. Admitindo que a água é incompressível e que os efeitos viscosos são desprezíveis, determine o valor de h

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[Cardoso1979]

Observe

Solução

Obs.1- As considerações estão todas no enunciado da questão.

1533351235317955816341.jpg (59.92 KiB) Exibido 1933 vezes

Aplicando a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2, temos:

[tex3]\frac{P_{1}}{\rho}+\frac{v_{1}^2}{2}+gz_{1} = \frac{P_{2}}{\rho}+\frac{v_{2}^2}{2}+gz_{2} \ ( z_{1}=0 \ ; \ v_{2}=0) [/tex3]

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[tex3]\frac{P_{1}}{\rho}+\frac{v_{1}^2}{2}+gz_{1} = \frac{P_{2}}{\rho}+\frac{v_{2}^2}{2}+gz_{2} \ ( z_{1}=0 \ ; \ v_{2}=0) [/tex3]

[tex3]\frac{P_{1}}{\rho}+\frac{v_{1}^2}{2}= \frac{P_{2}}{\rho}+gz_{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{P_{1}}{\rho}+\frac{v_{1}^2}{2}= \frac{P_{2}}{\rho}+gz_{2}[/tex3]

Determinação de [tex3]P_{1}-P_{2}[/tex3]

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[tex3]P_{1}-P_{2}[/tex3]

por manometria ( um assunto puxa outro ):

[tex3]\cancel {P_{A}} -P_{2}=-\rho_{água}g(\frac{0,15}{2}+y+h)m=-999\frac{kg}{m^3}×9,81\frac{m}{s^2}(0,075+y+h)m[/tex3]

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[tex3]\cancel {P_{A}} -P_{2}=-\rho_{água}g(\frac{0,15}{2}+y+h)m=-999\frac{kg}{m^3}×9,81\frac{m}{s^2}(0,075+y+h)m[/tex3]

[tex3]\cancel {P_{B}} -\cancel {P_{A}} = \rho_{ar}g(h)m=1,23\frac{kg}{m^3}×9,81\frac{m}{s^2}(h)m=12,07\frac{kg}{m.s^2}h[/tex3]

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[tex3]\cancel {P_{B}} -\cancel {P_{A}} = \rho_{ar}g(h)m=1,23\frac{kg}{m^3}×9,81\frac{m}{s^2}(h)m=12,07\frac{kg}{m.s^2}h[/tex3]

[tex3]P_{1}- \cancel {P_{B}}= \rho_{água}g(\frac{0,15}{2}+y+0,91)m=999\frac{kg}{m^3}×9,81\frac{m}{s^2}(0,985+y)m[/tex3]

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[tex3]P_{1}- \cancel {P_{B}}= \rho_{água}g(\frac{0,15}{2}+y+0,91)m=999\frac{kg}{m^3}×9,81\frac{m}{s^2}(0,985+y)m[/tex3]

Obs.2- Passe um traço abaixo das três equações acima( infelizmente não tem como eu fazer isso aqui ) , efetue as operações de cada equação e por fim some as três, resultando em;

[tex3]P_{1}-P_{2}=8918,18\frac{kg}{m.s^2}-9788,13\frac{kg}{m.s^2}h[/tex3]

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[tex3]P_{1}-P_{2}=8918,18\frac{kg}{m.s^2}-9788,13\frac{kg}{m.s^2}h[/tex3]

Por outro lado;

[tex3]v_{1}=\frac{Q}{A}= \frac{4Q}{πD^2}=\frac{4×0,11\frac{m^3}{s}}{π(0,31)^2m^2}→v_{1}=1,46m/s[/tex3]

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[tex3]v_{1}=\frac{Q}{A}= \frac{4Q}{πD^2}=\frac{4×0,11\frac{m^3}{s}}{π(0,31)^2m^2}→v_{1}=1,46m/s[/tex3]

Obs.3 - A = ( π.D² )/4

Então;

[tex3]\frac{P_{1}}{\rho} - \frac{P_{2}}{\rho}+ \frac{v_{1}^2}{2}= gz_{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{P_{1}}{\rho} - \frac{P_{2}}{\rho}+ \frac{v_{1}^2}{2}= gz_{2}[/tex3]

[tex3]\frac{8918,18\frac{kg}{m.s^2}}{999\frac{kg}{m^3}}-\frac{9788,13\frac{kg}{m.s^2}}{999\frac{kg}{m^3}}h+\frac{(1,46)^2}{2}\frac{m^2}{s^2}=9,81\frac{m}{s^2}×0,91m[/tex3]

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[tex3]\frac{8918,18\frac{kg}{m.s^2}}{999\frac{kg}{m^3}}-\frac{9788,13\frac{kg}{m.s^2}}{999\frac{kg}{m^3}}h+\frac{(1,46)^2}{2}\frac{m^2}{s^2}=9,81\frac{m}{s^2}×0,91m[/tex3]

[tex3]-9,8\frac{m^2}{s^2}h=8,93\frac{m^2}{s^2} - 8,93\frac{m^2}{s^2} - 1,07\frac{m^2}{s^2}[/tex3]

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[tex3]-9,8\frac{m^2}{s^2}h=8,93\frac{m^2}{s^2} - 8,93\frac{m^2}{s^2} - 1,07\frac{m^2}{s^2}[/tex3]

h = 0,109m

Obs.4 - Estou trabalhando com valores aproximados.

Portanto,

h ≈ 0,11m.

Nota ( resumo )

• Assumindo que o ar é um fluido incompressível e que a variação de pressão para pequenas alturas é nula tem-se que a pressão na interface água/ar será a mesma nas duas interfaces do manômetro em Um;

• O ponto ( 2 ) é o bocal contrário ao escoamento, portanto é ponto de estagnação com velocidade igual a 0 m/s;

• No sistema há um manômetro diferencial entre os pontos 1 e 2.

Obs.5 - Dependendo do referencial você pode resolver de outra maneira( ficará como exercício para você ).


Bons estudos!!