Física I ⇒ sistema de massa variável: um foguete Tópico resolvido

[BarbosaV]

Considere um foguete que está no espaço sideral e em repouso em relação a um referencial inercial, o motor do foguete deve ser acionado por um certo intervalo de tempo. Determine a razão de massa do foguete (razão entre as massas inicial e final) neste intervalo para que a velocidade original do foguete em relação ao referencial inercial seja igual
a) à velocidade de exaustão (velocidade dos produtos de exaustão em relação ao foguete)
b) a duas vezes a velocidade de exaustão.

[Andre13000]

Esse é um problema clássico. Para resolvê-lo, será necessário empregar a teoria do cálculo infinitesimal.

Considere todo o sistema se movendo à uma velocidade inicial v, tendo massa m. Suponha que passado um intervalo de tempo dt, no qual é expulsa uma quantia de massa de dm (produto de exaustão), que desenvolve uma velocidade relativa u contrária ao foguete.

Portanto esse produto de exaustão terá velocidade absoluta v-u, enquanto que agora o foguete, por conseguinte, se propele com uma velocidade absoluta maior que v, isto é, um certo v+dv. Utilizando a conservação do momento linear:

[tex3]mv=(v-u)dm+(m-dm)(v+dv)=(v-u)dm+mv-vdm+mdv-dmdv[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]mv=(v-u)dm+(m-dm)(v+dv)=(v-u)dm+mv-vdm+mdv-dmdv[/tex3]

O fator [tex3]dmdv[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]dmdv[/tex3]

deve ser descartado. Desse modo:

[tex3]udm=mdv\\
\frac{dm}{m}=\frac{dv}{u}\\
\Delta v=u\ln\(\frac{m}{m_0}\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]udm=mdv\\
\frac{dm}{m}=\frac{dv}{u}\\
\Delta v=u\ln\(\frac{m}{m_0}\)[/tex3]

Este resultado está com o sinal trocado, mas não estou achando onde errei os sinais. O resultado correto é [tex3]\Delta v=u\ln\(\frac{m_0}{m}\)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta v=u\ln\(\frac{m_0}{m}\)[/tex3]

As letras a) e b) são aplicações dessa fórmula.