Pré-Vestibular ⇒ (UFRGS - 2004) Geometria Espacial: Esfera e Cubo

[ALDRIN]

No desenho abaixo, em cada um dos vértices do cubo está centrada uma esfera cuja medida do diâmetro é igual à medida da aresta do cubo.

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A razão entre o volume da porção do cubo ocupado pelas esferas e o volume do cubo é

a) [tex3]\frac{\pi}{6}.[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi}{6}.[/tex3]

b) [tex3]\frac{\pi}{5}.[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi}{5}.[/tex3]

c) [tex3]\frac{\pi}{4}.[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi}{4}.[/tex3]

d) [tex3]\frac{\pi}{3}.[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi}{3}.[/tex3]

e) [tex3]\frac{\pi}{2}.[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi}{2}.[/tex3]

Resposta:

---

a

[Thales Gheós]

Cada esfera tem [tex3]\frac{1}{8}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{8}[/tex3]

de si dentro do cubo, portanto o volume do cubo ocupado pelas oito esferas é igual ao de uma esfera [tex3]V_{\text{o}}=\frac{4}{3}\pi r^3 .[/tex3]

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[tex3]V_{\text{o}}=\frac{4}{3}\pi r^3 .[/tex3]

O raio das esferas vale [tex3]\frac{a}{2},[/tex3]

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[tex3]\frac{a}{2},[/tex3]

portanto:

• [tex3]V_{\text{o}}=\frac{4}{3}\pi\frac{a^3}{2^3}=\frac{\pi a^3}{6}.[/tex3]

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  [tex3]V_{\text{o}}=\frac{4}{3}\pi\frac{a^3}{2^3}=\frac{\pi a^3}{6}.[/tex3]

Como o volume do cubo é [tex3]a^3,[/tex3]

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[tex3]a^3,[/tex3]

a relação é [tex3]\frac{\pi}{6}.[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi}{6}.[/tex3]