Ensino Médio ⇒ Logaritmo

[Shan]

A soma das raízes da equação:
2log₉x+2.log_x9=5 é:
a)92
b)27
c)36
d)76
e)84

Não possuo o gabarito.
Eu estava tentando fazer a mudança de base: log_ab²+log_ba²=5 é esse o caminho mesmo?

[Babi123]

[tex3]2\log_9x+2\log_x9=5\\
2\cdot\(\frac{\log_3x}{\log_39}+\frac{\log_39}{\log_3x}\)=5\\
2\cdot\(\frac{\log_3x}{2}+\frac{2}{\log_3x}\)=5\\
\log_3x+\frac{4}{\log_3x}=5\\
\\
Fazendo\ \log_3x=k:\\
\\
\\
k+\frac{4}{k}=5\\
k^2-5k+4=0\\
k\in\{1,4\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\log_9x+2\log_x9=5\\
2\cdot\(\frac{\log_3x}{\log_39}+\frac{\log_39}{\log_3x}\)=5\\
2\cdot\(\frac{\log_3x}{2}+\frac{2}{\log_3x}\)=5\\
\log_3x+\frac{4}{\log_3x}=5\\
\\
Fazendo\ \log_3x=k:\\
\\
\\
k+\frac{4}{k}=5\\
k^2-5k+4=0\\
k\in\{1,4\}[/tex3]

Voltando para a incógnita do problema:
Para k=1, temos:
[tex3]\log_3x=k\\
\log_3x=1\\
x=3^1\\
\boxed{\boxed{x=3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_3x=k\\
\log_3x=1\\
x=3^1\\
\boxed{\boxed{x=3}}[/tex3]

Para k=4, temos:
[tex3]\log_3x=k\\
\log_3x=4\\
x=3^4\\
\boxed{\boxed{x=81}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_3x=k\\
\log_3x=4\\
x=3^4\\
\boxed{\boxed{x=81}}[/tex3]

Disso, Vem:
[tex3]S=\{3,81\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S=\{3,81\}[/tex3]

Portanto,
[tex3]Soma_{raízes}=3+81\\
\boxed{\boxed{Soma_{raízes}=84}}\implies(letra\ E)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Soma_{raízes}=3+81\\
\boxed{\boxed{Soma_{raízes}=84}}\implies(letra\ E)[/tex3]