Sejam [tex3]\alpha =arcsen\left(\frac{4}{5}\right)[/tex3]
um arco no 2 quadrante e [tex3]\beta=arctg\left(-\frac{4}{3}\right)[/tex3]
um arco no 4 quadrante.Calcule 25.[tex3]cos(\alpha+\beta) [/tex3]
.
Tenho dúvida quanto aos quadrantes...As restrições não deveriam ser:
[tex3]-\frac{\pi }{2}\leq \alpha \leq \frac{\pi }{2}[/tex3]
e
[tex3]-\frac{\pi }{2}<\beta<\frac{\pi }{2}[/tex3]
?
Ensino Médio ⇒ Função trigonométrica inversa Tópico resolvido
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danjr5
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Jul 2018
08
19:37
Re: Função trigonométrica inversa
Olá sirisaac!
[tex3]\mathsf{\alpha = \arcsin \left ( \frac{4}{5} \right ) \Rightarrow \boxed{\mathsf{\sin \alpha = \frac{4}{5}}}}
[/tex3]
Com efeito, como [tex3]\mathsf{\frac{\pi}{2} \leq \alpha \leq \pi}[/tex3] , fazemos:
[tex3]\\ \mathsf{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1} \\\\ \mathsf{\left ( \frac{4}{5} \right )^2 + \cos^2 \alpha = 1} \\\\ \mathsf{\cos^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25}} \\\\ \mathsf{\cos^2 \alpha = \frac{9}{25}} \\\\ \boxed{\mathsf{\cos \alpha = - \frac{3}{5}}}[/tex3]
CONDIÇÃO II:
[tex3]\\ \mathsf{\beta = \arctan \left ( - \frac{4}{3} \right )} \\\\\\ \mathsf{\tan \beta = - \frac{4}{3}} \\\\\\ \mathsf{\tan \beta = - \frac{4k}{3k}, \quad \forall \, k \in \mathbb{Z^*}} \\\\\\ \mathsf{\frac{\sin \beta}{\cos \beta} = - \frac{4k}{3k} \Rightarrow \begin{cases} \mathsf{\sin \beta = - 4k} \\ \mathsf{\cos \beta = 3k} \end{cases}}[/tex3]
[tex3]\\ \mathsf{\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1} \\\\ \mathsf{(- 4k)^2 + (3k)^2 = 1} \\\\ \mathsf{16k^2 + 9k^2 = 1} \\\\ \mathsf{25k^2 = 1} \\\\ \mathsf{k = \pm \frac{1}{5}}[/tex3]
No entanto, uma vez que [tex3]\mathsf{\frac{3\pi}{2} \leq \beta \leq 2\pi}[/tex3] , fazemos:
[tex3]\\ \begin{cases} \mathsf{\sin \beta = - 4k} \\ \mathsf{\cos \beta = 3k} \end{cases} \\\\\\ \mathsf{\Rightarrow \boxed{\mathsf{\sin \beta = - \frac{4}{5}}} \quad \wedge \quad \boxed{\cos \beta = \frac{3}{5}}}[/tex3]
Por fim,
[tex3]\\ \mathsf{25 \cdot \cos \left ( \alpha + \beta \right ) =} \\\\ \mathsf{25 \cdot \left ( \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sin \alpha \cdot \sin \beta \right ) =} \\\\ \mathsf{25 \cdot \left [ \left (- \frac{3}{5} \right ) \cdot \frac{3}{5} - \frac{4}{5} \cdot \left ( - \frac{4}{5} \right ) \right ] =} \\\\ \mathsf{25 \cdot \left ( - \frac{9}{25} + \frac{16}{25} \right ) =} \\\\ \mathsf{25 \cdot \frac{7}{25}} \\\\ \boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{7}}}}[/tex3]
CONDIÇÃO I:sirisaac escreveu: ↑07 Jul 2018, 09:55 Sejam [tex3]\alpha =arcsen\left(\frac{4}{5}\right)[/tex3] um arco no 2 quadrante e [tex3]\beta=arctg\left(-\frac{4}{3}\right)[/tex3] um arco no 4 quadrante.Calcule 25.[tex3]cos(\alpha+\beta) [/tex3] .
Tenho dúvida quanto aos quadrantes...As restrições não deveriam ser:
[tex3]-\frac{\pi }{2}\leq \alpha \leq \frac{\pi }{2}[/tex3] e
[tex3]-\frac{\pi }{2}<\beta<\frac{\pi }{2}[/tex3]
?
[tex3]\mathsf{\alpha = \arcsin \left ( \frac{4}{5} \right ) \Rightarrow \boxed{\mathsf{\sin \alpha = \frac{4}{5}}}}
[/tex3]
Com efeito, como [tex3]\mathsf{\frac{\pi}{2} \leq \alpha \leq \pi}[/tex3] , fazemos:
[tex3]\\ \mathsf{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1} \\\\ \mathsf{\left ( \frac{4}{5} \right )^2 + \cos^2 \alpha = 1} \\\\ \mathsf{\cos^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25}} \\\\ \mathsf{\cos^2 \alpha = \frac{9}{25}} \\\\ \boxed{\mathsf{\cos \alpha = - \frac{3}{5}}}[/tex3]
CONDIÇÃO II:
[tex3]\\ \mathsf{\beta = \arctan \left ( - \frac{4}{3} \right )} \\\\\\ \mathsf{\tan \beta = - \frac{4}{3}} \\\\\\ \mathsf{\tan \beta = - \frac{4k}{3k}, \quad \forall \, k \in \mathbb{Z^*}} \\\\\\ \mathsf{\frac{\sin \beta}{\cos \beta} = - \frac{4k}{3k} \Rightarrow \begin{cases} \mathsf{\sin \beta = - 4k} \\ \mathsf{\cos \beta = 3k} \end{cases}}[/tex3]
[tex3]\\ \mathsf{\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1} \\\\ \mathsf{(- 4k)^2 + (3k)^2 = 1} \\\\ \mathsf{16k^2 + 9k^2 = 1} \\\\ \mathsf{25k^2 = 1} \\\\ \mathsf{k = \pm \frac{1}{5}}[/tex3]
No entanto, uma vez que [tex3]\mathsf{\frac{3\pi}{2} \leq \beta \leq 2\pi}[/tex3] , fazemos:
[tex3]\\ \begin{cases} \mathsf{\sin \beta = - 4k} \\ \mathsf{\cos \beta = 3k} \end{cases} \\\\\\ \mathsf{\Rightarrow \boxed{\mathsf{\sin \beta = - \frac{4}{5}}} \quad \wedge \quad \boxed{\cos \beta = \frac{3}{5}}}[/tex3]
Por fim,
[tex3]\\ \mathsf{25 \cdot \cos \left ( \alpha + \beta \right ) =} \\\\ \mathsf{25 \cdot \left ( \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sin \alpha \cdot \sin \beta \right ) =} \\\\ \mathsf{25 \cdot \left [ \left (- \frac{3}{5} \right ) \cdot \frac{3}{5} - \frac{4}{5} \cdot \left ( - \frac{4}{5} \right ) \right ] =} \\\\ \mathsf{25 \cdot \left ( - \frac{9}{25} + \frac{16}{25} \right ) =} \\\\ \mathsf{25 \cdot \frac{7}{25}} \\\\ \boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{7}}}}[/tex3]
Editado pela última vez por danjr5 em 08 Jul 2018, 19:45, em um total de 1 vez.
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
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Jul 2018
08
20:19
Re: Função trigonométrica inversa
danjr5, minha dúvida é como é possível uma função inversa do seno ter imagem no segundo quadrante,sendo que para transformarmos uma função seno em função arco-seno temos que fazer uma restrição da função ao intervalo [tex3][-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}][/tex3]
...Tô muito confuso :S
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Auto Excluído (ID:20047)
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Jul 2018
08
20:24
Re: Função trigonométrica inversa
Ah,acho que não necessariamente precisamos pegar esse intervalo..pegando [tex3][\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}][/tex3]
daria no mesmo.
Acho que se trata disso,abraços!
Acho que se trata disso,abraços!
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