Ensino Superior ⇒ Calculo do fluxo de campo vetorial. Tópico resolvido

[Guferreira]

Calcule o fluxo do campo vetorial [tex3]\vec{f}=(x^3+e^{yz},y^3-z\ln (x^2+1),xy^2-\cos(e^x-y)+z^3) [/tex3]

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[tex3]\vec{f}=(x^3+e^{yz},y^3-z\ln (x^2+1),xy^2-\cos(e^x-y)+z^3) [/tex3]

atrvés da superfície interior a esfera [tex3]x^2+y^2+z^2=1.[/tex3]

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[tex3]x^2+y^2+z^2=1.[/tex3]

Resposta

---

[tex3]\frac{12\pi }{5}[/tex3]

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[tex3]\frac{12\pi }{5}[/tex3]

[fortran]

Por se tratar de uma superfície fechada, aplica-se o teorema da divergência. Logo, o fluxo [tex3]\Phi[/tex3]

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[tex3]\Phi[/tex3]

é dado por:

[tex3]\Rightarrow \Phi=\iiint \limits_{V} \vec{\nabla} \cdot \vec{F} \ dV[/tex3]

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[tex3]\Rightarrow \Phi=\iiint \limits_{V} \vec{\nabla} \cdot \vec{F} \ dV[/tex3]

Resta então, calcular o divergente do campo vetorial e integrar sobre o volume da esfera. Assim:

[tex3]\Rightarrow \vec{\nabla} \cdot \vec{F}=3x^{2}+3y^{2}+3z^{2}=3(x^{2}+y^{2}+z^{2})[/tex3]

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[tex3]\Rightarrow \vec{\nabla} \cdot \vec{F}=3x^{2}+3y^{2}+3z^{2}=3(x^{2}+y^{2}+z^{2})[/tex3]

[tex3]\Rightarrow \Phi = \iiint \limits_{V}3(x^{2}+y^{2}+z^{2}) \ dV[/tex3]

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[tex3]\Rightarrow \Phi = \iiint \limits_{V}3(x^{2}+y^{2}+z^{2}) \ dV[/tex3]

[tex3]\Leftrightarrow \Phi =3 \int \limits_{0}^{2\pi} \int \limits_{0}^{\pi} \int \limits_{0}^{1}r^{4} \sin{\theta} \ dr d\theta d\phi = \frac{12}{5} \pi[/tex3]

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[tex3]\Leftrightarrow \Phi =3 \int \limits_{0}^{2\pi} \int \limits_{0}^{\pi} \int \limits_{0}^{1}r^{4} \sin{\theta} \ dr d\theta d\phi = \frac{12}{5} \pi[/tex3]