Ensino Superior ⇒ Limites Tópico resolvido

[SecretGirl]

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 8}\frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ 8}\frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2}[/tex3]

Como chego na resposta?

Resposta tá dando

Resposta

---

12

[carolzinhag3]

Oi!

Para resolver, use L'Hopital:

derivando [tex3]x-8 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x-8 [/tex3]

---> 1
derivando [tex3]{\sqrt[3]{x}-2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{\sqrt[3]{x}-2}[/tex3]

---->> [tex3]\left(\frac{1}{3x^{2/3}}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{1}{3x^{2/3}}\right)[/tex3]

Juntando tudo, temos:

[tex3]\lim _{x\to \:8}\left(\frac{1}{\frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}}\right) = \lim _{x\to \:8}\left(3x^{\frac{2}{3}}\right)
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim _{x\to \:8}\left(\frac{1}{\frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}}\right) = \lim _{x\to \:8}\left(3x^{\frac{2}{3}}\right)
[/tex3]

Substituindo x por 8, temos:

[tex3]3\cdot \:8^{\frac{2}{3}} = 12[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3\cdot \:8^{\frac{2}{3}} = 12[/tex3]

Uma dica: use o site https://www.symbolab.com/
Acho q vai te ajudar bastante!
Bons estudos!

[jomatlove]

Resolução
Recordar a identidade:[tex3]a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})[/tex3]

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[tex3]a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})[/tex3]

Assim:
[tex3]x-8=(\sqrt[3]{a})^{3}-2^{3}=(\sqrt[3]{x}-2)(\sqrt[3]{x^{2}}+2\sqrt[3]{x}+4)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x-8=(\sqrt[3]{a})^{3}-2^{3}=(\sqrt[3]{x}-2)(\sqrt[3]{x^{2}}+2\sqrt[3]{x}+4)[/tex3]

Portanto,temos:
[tex3]\lim_{x \rightarrow 8}\frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2}=\lim_{x \rightarrow 8}\frac{(\sqrt[3]{x}-2)(\sqrt[3]{x^{2}}+2\sqrt[3]{x}+4)}{\sqrt[3]{x}-2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow 8}\frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2}=\lim_{x \rightarrow 8}\frac{(\sqrt[3]{x}-2)(\sqrt[3]{x^{2}}+2\sqrt[3]{x}+4)}{\sqrt[3]{x}-2}[/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow 8}(\sqrt[3]{x^{2}}+2\sqrt[3]{x}+4)=\sqrt[3]{8^{2}}+2\sqrt[3]{8}+4=\sqrt[3]{64}+2\sqrt[3]{8}+4=4+4+4=12[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow 8}(\sqrt[3]{x^{2}}+2\sqrt[3]{x}+4)=\sqrt[3]{8^{2}}+2\sqrt[3]{8}+4=\sqrt[3]{64}+2\sqrt[3]{8}+4=4+4+4=12[/tex3]