Ensino Médio ⇒ Matrizes Tópico resolvido

[Sypru]

(UFU) O determinante é:

[tex3]\left| \begin{array}{rcr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ \log 8 & \log 80 & \log 800 & \log 8000 \\ (\log 8)^2 & (\log 80)^2 & (\log 800)^2 & (\log 8000)^2 \\ (\log 8)³ & (\log 80)³ & (\log 800)³ & (\log 8000)³ \end{array} \right|[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left| \begin{array}{rcr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ \log 8 & \log 80 & \log 800 & \log 8000 \\ (\log 8)^2 & (\log 80)^2 & (\log 800)^2 & (\log 8000)^2 \\ (\log 8)³ & (\log 80)³ & (\log 800)³ & (\log 8000)³ \end{array} \right|[/tex3]

a) [tex3]\log ( 8. 80. 800. 8000)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log ( 8. 80. 800. 8000)[/tex3]

b) [tex3]12[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]12[/tex3]

c) [tex3]\log 8^{24}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log 8^{24}[/tex3]

d) [tex3]\log 8 + \log 80 + \log 800 + \log 8000[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log 8 + \log 80 + \log 800 + \log 8000[/tex3]

e) [tex3]24[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]24[/tex3]

A questão não tem gabarito, porém, pela Regra de Chió eu decompus a matriz 4 x 4 para uma de ordem 3, fiz o determinante por meio da Regra de Sarrus e encontrei como resposta 12. Está certo?

[LucasPinafi]

Esse tipo de matriz tem determinante bem conhecido
D = (log 80 - log 8)(log 800 - log 8)(log 8000 - log 8)(log 800 - log 80)(log 8000- log 80)(log 8000 - log 800)
D = (log 10)(log 100)(log 1000)(log 10)(log 100)(log 10)
D = 1*2*3*1*2*1 = 12
Procure por matriz de voldemort

[caju]

Tipo assim, a matriz de Voldemort, do Harry Potter? hehehe

Matriz de Vandermonde seria o nome O determinante de uma matriz de Vandermonde é dado pela fórmula:

[tex3]\begin{vmatrix}1&\alpha _{1}&\alpha _{1}^{2}&\dots &\alpha _{1}^{n-1}\\1&\alpha _{2}&\alpha _{2}^{2}&\dots &\alpha _{2}^{n-1}\\1&\alpha _{3}&\alpha _{3}^{2}&\dots &\alpha _{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\alpha _{m}&\alpha _{m}^{2}&\dots &\alpha _{m}^{n-1}\end{vmatrix}=\prod _{1\leq i < j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{vmatrix}1&\alpha _{1}&\alpha _{1}^{2}&\dots &\alpha _{1}^{n-1}\\1&\alpha _{2}&\alpha _{2}^{2}&\dots &\alpha _{2}^{n-1}\\1&\alpha _{3}&\alpha _{3}^{2}&\dots &\alpha _{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\alpha _{m}&\alpha _{m}^{2}&\dots &\alpha _{m}^{n-1}\end{vmatrix}=\prod _{1\leq i < j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i})[/tex3]

A sua matriz pode ser escrita da seguinte forma:

[tex3]\left| \begin{array}{rcr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ (\log 8)^1 & (\log 80)^1 & (\log 800)^1 & (\log 8000)^1 \\ (\log 8)^2 & (\log 80)^2 & (\log 800)^2 & (\log 8000)^2 \\ (\log 8)³ & (\log 80)³ & (\log 800)³ & (\log 8000)³ \end{array} \right|[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left| \begin{array}{rcr} 1 & 1 & 1 & 1 \\ (\log 8)^1 & (\log 80)^1 & (\log 800)^1 & (\log 8000)^1 \\ (\log 8)^2 & (\log 80)^2 & (\log 800)^2 & (\log 8000)^2 \\ (\log 8)³ & (\log 80)³ & (\log 800)³ & (\log 8000)³ \end{array} \right|[/tex3]

Como sabemos que o determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta, podemos transpor a matriz do enunciado para aplicar a fórmula da Matriz de Vandermonde, conforme o colega LucasPinafi o fez na resposta acima.

Grande abraço,
Prof. Caju