Pré-Vestibular ⇒ (Unioeste) - Trigonometria Tópico resolvido

[Givanildo10]

Na Figura abaixo, ABC é um triângulo retângulo, com ângulo reto em C e BC mede a centímetros. Sabe-se que [tex3]\alpha = \left(\frac{\beta }{2}\right)[/tex3]

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[tex3]\alpha = \left(\frac{\beta }{2}\right)[/tex3]

, [tex3]\lambda [/tex3]

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[tex3]\lambda [/tex3]

= [tex3]\alpha [/tex3]

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[tex3]\alpha [/tex3]

+ 15 e [tex3]\gamma [/tex3]

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[tex3]\gamma [/tex3]

= λ + [tex3]\beta [/tex3]

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[tex3]\beta [/tex3]

. Assim, é CORRETO afirmar que a medida, em centímetros, de AD é:

UNIOESTE-2014.2-obj.-q.15mat.jpg (8.38 KiB) Exibido 2321 vezes

(A) [tex3]\frac{2\sqrt{3a}}{3(\sqrt{3+1)}}[/tex3]

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[tex3]\frac{2\sqrt{3a}}{3(\sqrt{3+1)}}[/tex3]

(B) [tex3]\frac{2\sqrt{3a}}{\sqrt{3 +1}}[/tex3]

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[tex3]\frac{2\sqrt{3a}}{\sqrt{3 +1}}[/tex3]

(C) [tex3]\frac{2\sqrt{3a}}{3(1-\sqrt{3)}}[/tex3]

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[tex3]\frac{2\sqrt{3a}}{3(1-\sqrt{3)}}[/tex3]

(D) [tex3]\frac{2\sqrt{3a}}{3(\sqrt{3-1)}}[/tex3]

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[tex3]\frac{2\sqrt{3a}}{3(\sqrt{3-1)}}[/tex3]

(E) [tex3]\frac{\sqrt{3a}}{3(\sqrt{3+1)}}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{3a}}{3(\sqrt{3+1)}}[/tex3]

Resposta

---

A

[petras]

Do enunciado tiramos que:
[tex3]\mathsf{{\beta+\frac{\beta}{2}=90^o}\rightarrow \beta=60^o}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{{\beta+\frac{\beta}{2}=90^o}\rightarrow \beta=60^o}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\alpha =30^o, \beta=60^o, \lambda =45^o~ e~ \gamma =105^o\\
AC = tg30^o.a = \frac{a\sqrt{3}}{3}\\
\frac{AD}{sen45^o}=\frac{a\sqrt{3}}{3sen105^o}\rightarrow AD = \frac{\sqrt{2}}{2}.a{\sqrt{3}}.\frac{4}{(3.\sqrt{2}(1+\sqrt{3)}}\rightarrow \\
AD=\frac{2a\sqrt{3}}{3(1+\sqrt{3)}}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\alpha =30^o, \beta=60^o, \lambda =45^o~ e~ \gamma =105^o\\
AC = tg30^o.a = \frac{a\sqrt{3}}{3}\\
\frac{AD}{sen45^o}=\frac{a\sqrt{3}}{3sen105^o}\rightarrow AD = \frac{\sqrt{2}}{2}.a{\sqrt{3}}.\frac{4}{(3.\sqrt{2}(1+\sqrt{3)}}\rightarrow \\
AD=\frac{2a\sqrt{3}}{3(1+\sqrt{3)}}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{ sen 105^o = sen (60 + 45)= sen60.cos45 + sen45.cos60= √3/2 . √2/2 + √2/2 . 1/2= (√6 + √2)/4=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{4}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{ sen 105^o = sen (60 + 45)= sen60.cos45 + sen45.cos60= √3/2 . √2/2 + √2/2 . 1/2= (√6 + √2)/4=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{4}}[/tex3]