Ensino Superior ⇒ Cálculo I - Ponto de contato da Tangente Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:19961)]

Encontrar o ponto de contato da tangente à curva [tex3]y=\sqrt{x^2-2x+9}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=\sqrt{x^2-2x+9}[/tex3]

, perpendicular à reta [tex3]\frac{y}{3}-\frac{x}{5}+\frac{9}{7}=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{y}{3}-\frac{x}{5}+\frac{9}{7}=0[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe:

Não existe esse ponto de tangência, ou seja , a reta que é perpendicular a reta dada não é tangente a curva do enunciado. A não ser que você tenha se equivocado em algum dado.

[petras]

Também cheguei a mesma conclusão. Algo deve estar errado no enunciado.

[Auto Excluído (ID:19961)]

Realmente está errado o enunciado, a reta é y/3-x+9/7

[petras]

[tex3]\mathsf{\frac{df\left(u\right)}{dx}=\frac{df}{du}\cdot \frac{du}{dx}\rightarrow
f=\sqrt{u},\:\:u=x^2-2x+9\\ \frac{d}{du}(\sqrt{u})\cdot \frac{d}{dx}(x^2-2x+9)}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\frac{df\left(u\right)}{dx}=\frac{df}{du}\cdot \frac{du}{dx}\rightarrow
f=\sqrt{u},\:\:u=x^2-2x+9\\ \frac{d}{du}(\sqrt{u})\cdot \frac{d}{dx}(x^2-2x+9)}
[/tex3]

[tex3]\mathsf{ \frac{d}{du}(\sqrt{u})=\frac{1}{2\sqrt{u}}\\
\frac{d}{dx}=2x-2\\
\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot(2x-2)~substituindo ~u~\rightarrow \frac{2x-2}{2\sqrt{x^2-2x+9)}}=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+9}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{ \frac{d}{du}(\sqrt{u})=\frac{1}{2\sqrt{u}}\\
\frac{d}{dx}=2x-2\\
\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot(2x-2)~substituindo ~u~\rightarrow \frac{2x-2}{2\sqrt{x^2-2x+9)}}=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+9}}}[/tex3]

Como a tangente é perpendicular à reta [tex3]\mathsf{ \frac{y}{3}-x+\frac{9}{7}=0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{ \frac{y}{3}-x+\frac{9}{7}=0}[/tex3]

sua declividade deverá ser [tex3]-\frac{1}{m}[/tex3]

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[tex3]-\frac{1}{m}[/tex3]

[tex3]\mathsf{ \frac{y}{3}-x+\frac{9}{7}=0\rightarrow y=3x+\frac{27}{7} \rightarrow m=3\rightarrow m_{\perp}=-\frac{1}{3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{ \frac{y}{3}-x+\frac{9}{7}=0\rightarrow y=3x+\frac{27}{7} \rightarrow m=3\rightarrow m_{\perp}=-\frac{1}{3}}[/tex3]

Igualando: [tex3]\mathsf{\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+9}}=-\frac{1}{3}\rightarrow x=0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+9}}=-\frac{1}{3}\rightarrow x=0}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\therefore y = \sqrt{x^2-2x+9}=\sqrt{0-0+9}=3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\therefore y = \sqrt{x^2-2x+9}=\sqrt{0-0+9}=3}[/tex3]

Ponto = (0,3)