IME / ITA ⇒ (IME) Equação Quadrática com 2 Variáveis Tópico resolvido

[Eric0289]

Questão 15 (nao sei a data da prova).

O par ordenado [tex3](x, y)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x, y)[/tex3]

, com o [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

e [tex3]y[/tex3]

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[tex3]y[/tex3]

inteiros positivos, satisfaz a equação [tex3]5x^2+ 2y^2= 11 (xy - 11)[/tex3]

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[tex3]5x^2+ 2y^2= 11 (xy - 11)[/tex3]

. O valor de [tex3]x+y[/tex3]

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[tex3]x+y[/tex3]

é:

(A) 160 (C) 81
(B) 122 (D) 41
(E) 11

Não possuo o gabarito.

[undefinied3]

Consdere a quadrática em apenas uma das variáveis. Tanto faz qual for, vou escolher x:
[tex3]5x^2-11yx+2y^2+121=0[/tex3]

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[tex3]5x^2-11yx+2y^2+121=0[/tex3]

[tex3]\Delta=121y^2-40y^2-2420=81y^2-2420[/tex3]

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[tex3]\Delta=121y^2-40y^2-2420=81y^2-2420[/tex3]

Isso precisa ser um quadrado perfeito.
[tex3](9y)^2-2420=t^2 \rightarrow 2420=(9y+t)(9y-t)[/tex3]

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[tex3](9y)^2-2420=t^2 \rightarrow 2420=(9y+t)(9y-t)[/tex3]

Aqui você utiliza o fato de que [tex3]2420=2^2*5*11^2[/tex3]

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[tex3]2420=2^2*5*11^2[/tex3]

e testa as possibilidades de fatores. Precisamos encontrar aqueles em que y será um inteiro. Por exemplo, testando o seguinte caso:
[tex3]\begin{cases}
1210=9y+t \\
2=9y-t
\end{cases} \rightarrow 18y=1212[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
1210=9y+t \\
2=9y-t
\end{cases} \rightarrow 18y=1212[/tex3]

Mas esse caso não vai dar certo, y não é inteiro.
Não vou fazer pra todos, o único que funciona é pra y=14 e pro simétrico y=-14, quando [tex3]18*14=252[/tex3]

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[tex3]18*14=252[/tex3]

, de modo que isso ocorre para
[tex3]\begin{cases}
242=9y+t \\
10=9y-t
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
242=9y+t \\
10=9y-t
\end{cases}[/tex3]

, e pro caso negativo.
Nesses dois casos, [tex3]\Delta=13456\rightarrow \sqrt{\Delta}=116[/tex3]

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[tex3]\Delta=13456\rightarrow \sqrt{\Delta}=116[/tex3]

, e temos [tex3]x=\frac{11*14\pm116}{10}=27 \ ou \ 3,8[/tex3]

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[tex3]x=\frac{11*14\pm116}{10}=27 \ ou \ 3,8[/tex3]

, descartamos o segundo valor. Assim, temos [tex3]x+y=27+14=41[/tex3]

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[tex3]x+y=27+14=41[/tex3]

, pois o exercício pede y positivo.

[petras]

[tex3]\mathsf{5x²+2y²-11xy-xy=-121\rightarrow 5x^2+2y^2-10xy-xy=121\rightarrow 5x(x-2y)-y(x-2y)=-121\rightarrow \\\boxed{\mathsf{(5x-y)(x-2y)=-121}}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{5x²+2y²-11xy-xy=-121\rightarrow 5x^2+2y^2-10xy-xy=121\rightarrow 5x(x-2y)-y(x-2y)=-121\rightarrow \\\boxed{\mathsf{(5x-y)(x-2y)=-121}}}[/tex3]

Para o produto ser -121 e sendo inteiro os fatores teremos: (-1, 121), (121,-1) (-121, 1) (1,-121), (-11,11) (11,-11)

Testando chegaremos a solução com (121, -1):

[tex3]\mathsf{5x-y=121 \\x-2y =-1}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{5x-y=121 \\x-2y =-1}[/tex3]

Resolvendo o sistema encontraremos [tex3]\mathsf{x=27~e~y=14\rightarrow \boxed{\mathsf{x+y=41}}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{x=27~e~y=14\rightarrow \boxed{\mathsf{x+y=41}}}[/tex3]