Ensino Superior ⇒ Homomorfismo questão 13 Tópico resolvido

[gerlanmatfis]

Seja G um grupo e [tex3]\psi [/tex3]

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[tex3]\psi [/tex3]

: [tex3]G\rightarrow G [/tex3]

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[tex3]G\rightarrow G [/tex3]

a aplicação definida por [tex3]\psi (x)=x^{-1}[/tex3]

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[tex3]\psi (x)=x^{-1}[/tex3]

. Mostre que G é abeliano se e somente se [tex3]\psi [/tex3]

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[tex3]\psi [/tex3]

é um homomorfismo. Como caso particular, reencontre que um grupo é abeliano se todos seus elementos [tex3]\neq [/tex3]

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[tex3]\neq [/tex3]

e tem ordem igual a 2.

[Cardoso1979]

Observe:

Solução

( → ) Suponhamos G um grupo abeliano e sejam x , y [tex3]\in [/tex3]

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[tex3]\in [/tex3]

G. Então, [tex3]\psi ( xy ) = ( xy )^{-1} = y^{-1}x^{-1} = x^{-1}y^{-1} = \psi(x)\psi (y) [/tex3]

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[tex3]\psi ( xy ) = ( xy )^{-1} = y^{-1}x^{-1} = x^{-1}y^{-1} = \psi(x)\psi (y) [/tex3]

. Logo, [tex3]\psi [/tex3]

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[tex3]\psi [/tex3]

é um homomorfismo.

( ← ) Suponhamos que [tex3]\psi [/tex3]

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[tex3]\psi [/tex3]

seja um homomorfismo de G em G. Então, para quaisquer x , y [tex3]\in [/tex3]

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[tex3]\in [/tex3]

G, temos : [tex3]\psi( xy ) = \psi(x)\psi(y) →(xy)^{-1} = x^{-1}y^{-1}[/tex3]

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[tex3]\psi( xy ) = \psi(x)\psi(y) →(xy)^{-1} = x^{-1}y^{-1}[/tex3]

. Calculando-se o inverso de cada membro da igualdade anterior, obtemos:
[tex3]( (xy)^{-1} )^{-1} = (x^{-1}y^{-1} )^{-1} → xy = (y^{-1})^{-1}(x^{-1})^{-1} → xy = yx[/tex3]

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[tex3]( (xy)^{-1} )^{-1} = (x^{-1}y^{-1} )^{-1} → xy = (y^{-1})^{-1}(x^{-1})^{-1} → xy = yx[/tex3]

, e daí, concluímos que G é um grupo abeliano. c.q.m.

Obs.Um caso particular de um grupo abeliano onde todos os seus elementos são distintos do neutro e tem ordem igual a 2 é o Grupo de Klein de ordem [tex3]2^{n}[/tex3]

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[tex3]2^{n}[/tex3]

ou [tex3]V_{2^{n}}[/tex3]

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[tex3]V_{2^{n}}[/tex3]

Bons estudos!!