Ensino SuperiorMassa de um sólido - integrais Triplas Tópico resolvido

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gerlanmatfis
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Massa de um sólido - integrais Triplas

Mensagem não lida por gerlanmatfis »

Determine a massa de um solido [tex3]W[/tex3] , no primeiro octante, limitado por [tex3]y=0, z=0,y=x [/tex3] e [tex3]z^{2}+x^{2}=4[/tex3] , sendo que a densidade em cada ponto [tex3]P=(x,y,z)[/tex3] de [tex3]W[/tex3] é proporcional ao quadrado da distância de [tex3]P[/tex3] ao plano [tex3]yz[/tex3]




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Cardoso1979
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Mar 2018 11 00:18

Re: Massa de um sólido - integrais Triplas

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe:

Solução

x = yz = 0 , ou seja , x = 0 ( plano ), então ;

[tex3]d = \frac{|ax + by + cx + d |}{\sqrt{a^{
2} +b^{2} + c^{2}} }[/tex3]

[tex3]d = \frac{|1.x + 0.y + 0.x + 0 |}{\sqrt{1^{
2} +0^{2} + 0^{2}} }[/tex3]

d = x → d = k.x²

Graficamente( sólido E )
15207380478111946758952.jpg
15207380478111946758952.jpg (57.83 KiB) Exibido 1083 vezes



Projeção de E sobre o plano xy ( região D )
15207381938301291049040.jpg
15207381938301291049040.jpg (56.73 KiB) Exibido 1083 vezes



Temos que, a descrição de E é dada por;

E = { ( x , y , z ) | 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ x e 0 ≤ z ≤ √(4 - x² ) }

Daí;

[tex3]M = \int\limits_{}^{}\int\limits_{E}^{}\int\limits_{}^{}\sigma( x , y , z ) dV[/tex3]

[tex3]M = \int\limits_{}^{}{}^{}\int\limits_{}^{}\int\limits_{0
}^{\sqrt{4-x^{2}}} kx^{2} dzdA[/tex3]

[tex3]M = k.\int\limits_{}^{}\int\limits_{D}^{} x^{2}.\sqrt{4-x^{2}} dA[/tex3]

[tex3]M = k.\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{
0}^{x} x^{2}.\sqrt{4-x^{2}} dydx[/tex3]

[tex3]M = k.\int\limits_{0}^{2} x^{3}.\sqrt{4-x^{2}} dx[/tex3]

[tex3]M = - \frac{k(3x^{2}+8).\sqrt{(4-x^{2})^{3}}}{15}|_{0}^{2}[/tex3]

[tex3]M = 0 - ( - \frac{64k}{15} )[/tex3]

Logo;

[tex3]M = \frac{64k}{15} [/tex3]

Bons estudos!!




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gerlanmatfis
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Mar 2018 11 01:22

Re: Massa de um sólido - integrais Triplas

Mensagem não lida por gerlanmatfis »

obrigadão, professor. Não tenho como agradecer a sua ajuda :):D



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Cardoso1979
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Nov 2020 07 23:40

Re: Massa de um sólido - integrais Triplas

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

gerlanmatfis escreveu:
Dom 11 Mar, 2018 01:22
obrigadão, professor. Não tenho como agradecer a sua ajuda :):D
Disponha 👍🙌🤝




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