Pré-Vestibular

Givanildo10

Considere o triângulo retângulo ABC, conforme a figura abaixo:

: triangulo seme.jpg (12.18 KiB) Exibido 3041 vezes

Suponha que a medida do lado [tex3]\overline{AC}[/tex3] seja menor que a medida do lado [tex3]\overline{AB}[/tex3] . Seja [tex3]\overline{AD}[/tex3] a altura relativa ao lado [tex3]\overline{BC}[/tex3] . Sendo a medida [tex3]\overline{BC}[/tex3] igual a 5 e a medida [tex3]\overline{AD}[/tex3] igual a 2. Ao analisar a figura, marque as afirmativas corretas:

a) o ângulo B do triângulo ABC mede 30 graus.
b) [tex3]\overline{AC}[/tex3] mede [tex3]\sqrt{5}[/tex3] .
c) [tex3]\overline{AC}[/tex3] é um dos catetos do triângulo ACD
d) a projeção de [tex3]\overline{AC}[/tex3] sobre o lado [tex3]\overline{BC}[/tex3] do triângulo ABC mede 1.
e) a projeção de [tex3]\overline{AB}[/tex3] sobre o lado [tex3]\overline{BC}[/tex3] do triângulo ABC mede 3.

Resposta

B, D

Mensagem não lidapor **jvmago** » Sáb 17 Fev, 2018 21:43

Chame os catetos [tex3]AC[/tex3] e [tex3]AB[/tex3] de [tex3]x[/tex3] [tex3]y[/tex3] respectivamente.

[tex3]x^2+y^2=25\rightarrow x^2=25-y^2[/tex3]

Utilizando a relação métrica da altura temos:
[tex3]\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{4}[/tex3]
Substituindo o valor de [tex3]x[/tex3] e fazendo MMC teremos:

[tex3]4y^2+100-4y^2=25y^2-y^4[/tex3]
[tex3]y^4-25y^2+100=0[/tex3]
[tex3]a=y^2[/tex3]
[tex3]a^2-25a+100=0[/tex3]
[tex3]\Delta =25*9[/tex3]
[tex3]a=\frac{25-+15}{2}[/tex3]
[tex3]a=20[/tex3] ou [tex3]a=5[/tex3]
Só que o [tex3]a=y^2=AB^2[/tex3] e [tex3]AB>AC[/tex3] então, [tex3]y^2=20[/tex3] e por fim [tex3]x^2=5\rightarrow X=\sqrt{5}[/tex3]

Mensagem não lidapor **jvmago** » Dom 18 Fev, 2018 11:11 · Mensagem não lida por **jvmago** » Dom 18 Fev, 2018 11:11

Estavam me perguntando como reduzir a relação métrica da altura então vamos lá.

Seja o [tex3]\Delta ABC [/tex3] de catetos [tex3]a,b[/tex3] e hipotenusa [tex3]c[/tex3] temos: [tex3]a^2+b^2=c^2[/tex3] .

Agora observe a seguinte expressão:
[tex3]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2*b^2}=\frac{c^2}{a^2*b^2}[/tex3]

Pela relação [tex3]a*b=h*c[/tex3] temos:
[tex3]\frac{c^2}{a^2*b^2}=\frac{c^2}{h^2*c^2}=\frac{1}{h^2}[/tex3]

Então que fique enunciado:"A soma dos inversos dos quadrados dos catetos é igual ao inverso do quadrado da altura relativa a hipotenusa"

[tex3]\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}[/tex3]

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