[tex3]\lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^{100}+2x+1}{x^{50}+2x+1}[/tex3]
Resposta
[tex3]\frac{49}{24}[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Limite Tópico resolvido
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lincoln1000 
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11:59
Limite
Calcule o limite, se possível.
[tex3]\lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^{100}+2x+1}{x^{50}+2x+1}[/tex3]
[tex3]\frac{49}{24}[/tex3]
[tex3]\lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^{100}+2x+1}{x^{50}+2x+1}[/tex3]
[tex3]\frac{49}{24}[/tex3]
"Como é que vão aprender sem incentivo de alguém, sem orgulho e sem respeito, sem saúde e sem paz."
Fev 2018
13
12:08
Re: Limite
Trata-se de uma indeterminação [tex3]\frac{0}{0}[/tex3]
Aplique L'hopital (derive o numerador e o denominador) e teremos:
[tex3]\lim_{x \rightarrow -1} \frac{100x^{99}+2}{50x^{49}+2}\rightarrow \frac{49}{24}[/tex3]
Aplique L'hopital (derive o numerador e o denominador) e teremos:
[tex3]\lim_{x \rightarrow -1} \frac{100x^{99}+2}{50x^{49}+2}\rightarrow \frac{49}{24}[/tex3]
Última edição: jvmago (Ter 13 Fev, 2018 12:09). Total de 1 vez.
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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lincoln1000
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12:17
Re: Limite
Não vi L'hopital ainda, vi uma questão parecida que foi resolvida manipulando o polinômio, mas assim me parece bem mais simples. Obrigado
"Como é que vão aprender sem incentivo de alguém, sem orgulho e sem respeito, sem saúde e sem paz."
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12:21
Re: Limite
L'Hopital ajuda muito quando temos indeterminações do tipo [tex3]\frac{0}{0}[/tex3] ou [tex3]\frac{{\infty}}{{\infty}}[/tex3]lincoln1000 escreveu: ↑Ter 13 Fev, 2018 12:17Não vi L'hopital ainda, vi uma questão parecida que foi resolvida manipulando o polinômio, mas assim me parece bem mais simples. Obrigado
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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LucasPinafi 
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12:30
Re: Limite
1° sem L'Hospital
Você pode fatorar os polinômios por Briot-Rufini
[tex3]x^{100} +2x + 1= (x+1) (x^{99} - x^{98} + x^{97} - \dots + x+1)[/tex3]
[tex3]x^{50} +2 x + 1 = (x+1) (x^{49}- x^{48} + x^{47} - \dots +x+1)[/tex3]
de modo que,
[tex3]A = \lim_{ x \to -1} \frac{x^{100} +2x+1}{x^{50} +2x +1} = \lim_{x \to -1} \frac{x^{99} - x^{98} + x^{97} - \dots + x +1}{x^{49}- x^{48} + x^{47} - \dots + x+1} \\ A=\lim_{ x\to - 1} \frac{ - (x^{98} + x^{96} +\cdots + x^4 + x^2 ) + (x^{99} + x^{97} + x^{95} + \cdots + x^3 + x ) +1}{- (x^{48} +x^{46} + \cdots + x^{4} + x^2 ) + (x^{49}+x^{47}+ x^{45} + \cdots + x^3 + x)+1 } \\ A = \frac{ - 49-50 +1}{-24-25+1} = \frac{-98}{-48}= \frac{49}{24}[/tex3]
Edit: tinha colocado os sinais errados na fatoração
Você pode fatorar os polinômios por Briot-Rufini
[tex3]x^{100} +2x + 1= (x+1) (x^{99} - x^{98} + x^{97} - \dots + x+1)[/tex3]
[tex3]x^{50} +2 x + 1 = (x+1) (x^{49}- x^{48} + x^{47} - \dots +x+1)[/tex3]
de modo que,
[tex3]A = \lim_{ x \to -1} \frac{x^{100} +2x+1}{x^{50} +2x +1} = \lim_{x \to -1} \frac{x^{99} - x^{98} + x^{97} - \dots + x +1}{x^{49}- x^{48} + x^{47} - \dots + x+1} \\ A=\lim_{ x\to - 1} \frac{ - (x^{98} + x^{96} +\cdots + x^4 + x^2 ) + (x^{99} + x^{97} + x^{95} + \cdots + x^3 + x ) +1}{- (x^{48} +x^{46} + \cdots + x^{4} + x^2 ) + (x^{49}+x^{47}+ x^{45} + \cdots + x^3 + x)+1 } \\ A = \frac{ - 49-50 +1}{-24-25+1} = \frac{-98}{-48}= \frac{49}{24}[/tex3]
Edit: tinha colocado os sinais errados na fatoração
Última edição: LucasPinafi (Ter 13 Fev, 2018 12:34). Total de 1 vez.
Ser ̶m̶e̶l̶h̶o̶r̶ pior a cada dia
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lincoln1000
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13
15:18
Re: Limite
Obrigado LucasPinafi e jvmago! 
"Como é que vão aprender sem incentivo de alguém, sem orgulho e sem respeito, sem saúde e sem paz."
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Andre13000 
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13
15:33
Re: Limite
O limite fica fácil se você fizer a subs [tex3]x=y-1[/tex3]
[tex3]\frac{x^{100}+2x+1}{x^{50}+2x+1}=\frac{(1-y)^{100}+2y-1}{(1-y)^{50}+2y-1}\\
(1-y)^n\approx 1-ny\\
L=\frac{1-100y+2y-1}{1-50y+2y-1}=\frac{49}{24}[/tex3]
[tex3]\frac{x^{100}+2x+1}{x^{50}+2x+1}=\frac{(1-y)^{100}+2y-1}{(1-y)^{50}+2y-1}\\
(1-y)^n\approx 1-ny\\
L=\frac{1-100y+2y-1}{1-50y+2y-1}=\frac{49}{24}[/tex3]
“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman
Fev 2018
13
15:34
Re: Limite
[tex3](1-y)^n\approx 1-ny\\[/tex3] wowAndre13000 escreveu: ↑Ter 13 Fev, 2018 15:33O limite fica fácil se você fizer a subs [tex3]x=y-1[/tex3]
[tex3]\frac{x^{100}+2x+1}{x^{50}+2x+1}=\frac{(1-y)^{100}+2y-1}{(1-y)^{50}+2y-1}\\
(1-y)^n\approx 1-ny\\
L=\frac{1-100y+2y-1}{1-50y+2y-1}=\frac{49}{24}[/tex3]
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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lincoln1000
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13
17:10
Re: Limite
Poderia me explicar um pouco sobre essa aproximação?"Como é que vão aprender sem incentivo de alguém, sem orgulho e sem respeito, sem saúde e sem paz."
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Andre13000
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Fev 2018
13
17:32
Re: Limite
Parece que veio de outro mundo mas é muito simples
Era um belo dia, Newton estava pescando em um lago quando teve uma ideia brilhante.
O problema é que a gente não ensina a ideia dele.
Vamos para a escola e o professor escreve no quadro:
[tex3](x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}x^k[/tex3]
Viu cara? O Newton é um gênio.
O único problema é que essa identidade já era conhecida antes de Newton. O que Newton fez, porém, foi analisar:
[tex3]\frac{1}{(x+y)^n}[/tex3]
Se você analisar a expressão:
[tex3]\frac{1}{(x+y)^n}=\frac{1}{x^n(1+y/x)^n}[/tex3]
Então basta analisar [tex3]\frac{1}{(1+z)^n}[/tex3]
Newton era muito esperto. Suponha que ele quisesse saber o valor dessa função para [tex3]n=2[/tex3] e [tex3]z[/tex3] próximo de 0. Ele fazia:
[tex3]\frac{1}{(1+z)^2}=1+az+bz^2+cz^3+dz^4+\dots[/tex3]
Então ele passava o (1+z)² para o outro lado e calculava quem seriam os coeficientes. Você tem o "polinômio" 1 do lado esquerdo e um polinômio infinito do lado direito. É só igualar e resolver as equações. Ele pensou, e se [tex3]n=1/2[/tex3] ?
[tex3]\frac{1}{\sqrt{1+z}}=1+az+bz^2+\dots\\
\frac{1}{1+z}=(1+az+bz^2+\dots)^2\\
1=(1+z)(1+az+bz^2+\dots)^2[/tex3]
O problema é que você não quer ficar fazendo esses cálculos toda vez que tiver uma expressão dessas. Novamente, Newton estava no lago, quando percebeu:
"O VERDADEIRO TEOREMA DE NEWTON"
Seja [tex3]{n\choose k}=\frac{n(n-1)\dots (n-k+1)}{k!}[/tex3] .
[tex3](1+z)^n=\sum_{k=0}^{\infty}{n\choose k}z^k[/tex3]
Para n real, e [tex3]|z|<1,~z\in \mathbb Z[/tex3] .
Eu inventei a historinha mas é basicamente isso. [tex3](1+z)^n= 1+nz+\frac{n(n-1)z^2}{2!}+\dots[/tex3] , então se z é próximo de zero, podemos "descartar" os termos que vem depois.
Edit2: Exercício do Livro James Stewart - Cálculo Volume II
Seja [tex3]g(x)=\sum_{k=0}^{\infty}{n\choose k}x^k[/tex3]
a) Prove que [tex3]g'(x)=\frac{ng(x)}{1+x}[/tex3]
b) Seja [tex3]h(x)=(1+x)^{-n}g(x)[/tex3] . Mostre que [tex3]h'(x)=0[/tex3]
c) Deduza que [tex3]g(x)=(1+x)^n[/tex3]
Observe que este exercício não lida com problemas de convergência.
Era um belo dia, Newton estava pescando em um lago quando teve uma ideia brilhante.
O problema é que a gente não ensina a ideia dele.
Vamos para a escola e o professor escreve no quadro:
[tex3](x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}x^k[/tex3]
Viu cara? O Newton é um gênio.
O único problema é que essa identidade já era conhecida antes de Newton. O que Newton fez, porém, foi analisar:
[tex3]\frac{1}{(x+y)^n}[/tex3]
Se você analisar a expressão:
[tex3]\frac{1}{(x+y)^n}=\frac{1}{x^n(1+y/x)^n}[/tex3]
Então basta analisar [tex3]\frac{1}{(1+z)^n}[/tex3]
Newton era muito esperto. Suponha que ele quisesse saber o valor dessa função para [tex3]n=2[/tex3] e [tex3]z[/tex3] próximo de 0. Ele fazia:
[tex3]\frac{1}{(1+z)^2}=1+az+bz^2+cz^3+dz^4+\dots[/tex3]
Então ele passava o (1+z)² para o outro lado e calculava quem seriam os coeficientes. Você tem o "polinômio" 1 do lado esquerdo e um polinômio infinito do lado direito. É só igualar e resolver as equações. Ele pensou, e se [tex3]n=1/2[/tex3] ?
[tex3]\frac{1}{\sqrt{1+z}}=1+az+bz^2+\dots\\
\frac{1}{1+z}=(1+az+bz^2+\dots)^2\\
1=(1+z)(1+az+bz^2+\dots)^2[/tex3]
O problema é que você não quer ficar fazendo esses cálculos toda vez que tiver uma expressão dessas. Novamente, Newton estava no lago, quando percebeu:
"O VERDADEIRO TEOREMA DE NEWTON"
Seja [tex3]{n\choose k}=\frac{n(n-1)\dots (n-k+1)}{k!}[/tex3] .
[tex3](1+z)^n=\sum_{k=0}^{\infty}{n\choose k}z^k[/tex3]
Para n real, e [tex3]|z|<1,~z\in \mathbb Z[/tex3] .
Eu inventei a historinha mas é basicamente isso. [tex3](1+z)^n= 1+nz+\frac{n(n-1)z^2}{2!}+\dots[/tex3] , então se z é próximo de zero, podemos "descartar" os termos que vem depois.
Edit2: Exercício do Livro James Stewart - Cálculo Volume II
Seja [tex3]g(x)=\sum_{k=0}^{\infty}{n\choose k}x^k[/tex3]
a) Prove que [tex3]g'(x)=\frac{ng(x)}{1+x}[/tex3]
b) Seja [tex3]h(x)=(1+x)^{-n}g(x)[/tex3] . Mostre que [tex3]h'(x)=0[/tex3]
c) Deduza que [tex3]g(x)=(1+x)^n[/tex3]
Observe que este exercício não lida com problemas de convergência.
Última edição: Andre13000 (Ter 13 Fev, 2018 17:54). Total de 2 vezes.
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