Ensino Médio ⇒ Logaritmos Tópico resolvido

[Babi123]

Sejam [tex3]a,b,c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a,b,c[/tex3]

três inteiros primos entre si, tais que: [tex3]a\cdot\log_{200}5+b\cdot\log_{200}2=c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a\cdot\log_{200}5+b\cdot\log_{200}2=c[/tex3]

, então qual o valor de [tex3]a+b+c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+b+c[/tex3]

?

A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10



Obs: Não tenho gabarito.

[jvmago]

[tex3]\log_{200}(5^a*2^b)=\log_{200}(200)^c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_{200}(5^a*2^b)=\log_{200}(200)^c[/tex3]

Retirando o logaritmo

[tex3]5^a*2^b=200^c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]5^a*2^b=200^c[/tex3]

fatorando [tex3]200[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]200[/tex3]

obtemos

[tex3]5^a*2^b=5^{2c}*2^{3c}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]5^a*2^b=5^{2c}*2^{3c}[/tex3]

os únicos [tex3]3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3[/tex3]

primos tal que [tex3]b=3c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b=3c[/tex3]

e [tex3]a=2c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=2c[/tex3]

[tex3]c=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]c=1[/tex3]

[tex3]a=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=2[/tex3]

e [tex3]b=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b=3[/tex3]

[tex3]a+b+c=6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+b+c=6[/tex3]

[PedroCosta]

[tex3]\log_{200}5^a+ \log_{200}2^b = \log_{200}200^c\\
\log_{200}(5^a\cdot2^b) = \log_{200}(2^{3c}\cdot 5^{2c})\\
5^a\cdot 2^b = 2^{3c}\cdot 5^{2c}\\
5^{a-2c} = 2^{3c-b}\\
\begin{cases}
a-2c=0 \\
3c-b=0
\end{cases}\\
\boxed{a = 2c}\\
\boxed{b = 3c}\\
a+b+c = 2c +3c + c = 6c\\
\mdc(6c, 3c,c) = 1 \Longrightarrow c = 1\\
\therefore a+ b+c = 6
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_{200}5^a+ \log_{200}2^b = \log_{200}200^c\\
\log_{200}(5^a\cdot2^b) = \log_{200}(2^{3c}\cdot 5^{2c})\\
5^a\cdot 2^b = 2^{3c}\cdot 5^{2c}\\
5^{a-2c} = 2^{3c-b}\\
\begin{cases}
a-2c=0 \\
3c-b=0
\end{cases}\\
\boxed{a = 2c}\\
\boxed{b = 3c}\\
a+b+c = 2c +3c + c = 6c\\
\mdc(6c, 3c,c) = 1 \Longrightarrow c = 1\\
\therefore a+ b+c = 6
[/tex3]

[Babi123]

Obrigada aos dois!