Ensino Médio ⇒ Soma dos termos de uma pg infinita Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Fev 2018
04
10:32
Soma dos termos de uma pg infinita
O lado de um triângulo equilátero mede 3 cm. Unindo-se os pontos médios de seus lados, obtém-se um novo triângulo equilátero. Unindo-se os pontos médios dos lados do novo triângulo, obtém-se um outro triângulo equilátero, e assim sucessivamente. Determine a soma das áreas de todos os triângulos.
Fev 2018
04
10:52
Re: Soma dos termos de uma pg infinita
Trace um [tex3]\Delta ABC[/tex3]
Seja [tex3]S[/tex3] a área do [tex3]\Delta abc [/tex3] e [tex3]S2[/tex3] a área do [tex3]\Delta mnp[/tex3]
Temos que [tex3]S=9*\frac{\sqrt{3}}{4}[/tex3] e [tex3]S2=\frac{9}{4}*\frac{\sqrt{3}}{4}[/tex3]
Sua sequência será [tex3]S=(\frac{9\sqrt{3}}{4},*\frac{9\sqrt{3}}{16},...)[/tex3]
[tex3]q=\frac{1}{4}[/tex3]
[tex3]Sn=\frac{a_{1}}{1-q}=\frac{\frac{9\sqrt{3}}{4}}{1-\frac{1}{4}}=3\sqrt{3}[/tex3]
com lados [tex3]l=3[/tex3]
chame de [tex3]M, N [/tex3]
e [tex3]P[/tex3]
os pontos médios dos lados e em seguida una-os. Note que esses segmentos que passam pelos pontos médios são também Bases Médias. Isso nos leva a crer que todos os triangulos criados dessa forma terão a metade do lado do [tex3]\Delta [/tex3]
anterior.Seja [tex3]S[/tex3] a área do [tex3]\Delta abc [/tex3] e [tex3]S2[/tex3] a área do [tex3]\Delta mnp[/tex3]
Temos que [tex3]S=9*\frac{\sqrt{3}}{4}[/tex3] e [tex3]S2=\frac{9}{4}*\frac{\sqrt{3}}{4}[/tex3]
Sua sequência será [tex3]S=(\frac{9\sqrt{3}}{4},*\frac{9\sqrt{3}}{16},...)[/tex3]
[tex3]q=\frac{1}{4}[/tex3]
[tex3]Sn=\frac{a_{1}}{1-q}=\frac{\frac{9\sqrt{3}}{4}}{1-\frac{1}{4}}=3\sqrt{3}[/tex3]
Última edição: jvmago (Dom 04 Fev, 2018 11:11). Total de 1 vez.
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
Fev 2018
04
11:01
Re: Soma dos termos de uma pg infinita
Resolução incorreta. A soma tem que dar 3 raiz quadrada de 3.
Fev 2018
04
11:05
Re: Soma dos termos de uma pg infinita
Opa não me atentei que ele queria a área, vou corrigir a resolução.
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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