Mensagem não lida por Winston » Qui 01 Fev, 2018 22:31
Mensagem não lida
por Winston » Qui 01 Fev, 2018 22:31
Para facilitar, vou primeiro descobrir qual é o [tex3]a_0[/tex3]
. Utilizando a recorrência dada, [tex3]a_2[/tex3]
= 2 [tex3]a_1 + a_0[/tex3]
[tex3]\rightarrow [/tex3]
[tex3]a_0[/tex3]
= 1.
Sendo r as razões das P.Gs que satisfazem a recorrência [tex3]a_{n+2}[/tex3]
= 2 [tex3]a_{n+1} + a_n[/tex3]
[tex3]r^{2}[/tex3]
= 2r + 1 [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]r^{2}[/tex3]
- 2r - 1 = 0
[tex3]\Delta = 4 -4.1.(-1)[/tex3]
[tex3]\Delta = 8[/tex3]
[tex3]r = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2}[/tex3]
[tex3]r_1[/tex3]
= 1 - [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]r_2[/tex3]
= 1 + [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]a_n[/tex3]
= x.[tex3]r_1^{n}[/tex3]
+ y.[tex3]r_2^{n}[/tex3]
[tex3]a_n[/tex3]
= x.[tex3](1 - \sqrt{2})^{n}[/tex3]
+ y.[tex3](1 + \sqrt{2})^{n}[/tex3]
[tex3]a_0[/tex3]
= x.[tex3](1 - \sqrt{2})^{0}[/tex3]
+ y.[tex3](1 + \sqrt{2})^{0}[/tex3]
[tex3]\rightarrow x + y = 1[/tex3]
[tex3]a_1[/tex3]
= x.[tex3](1 - \sqrt{2})^{1}[/tex3]
+ y.[tex3](1 + \sqrt{2})^{1}[/tex3]
[tex3]\rightarrow x(1-\sqrt{2}) + y(1+\sqrt{2}) = 1[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
x + y = 1 \\
x(1-\sqrt{2}) + y(1+\sqrt{2}) = 1 \rightarrow x + y + \sqrt{2}(y-x) = 1 \rightarrow x=y
\end{cases}[/tex3]
[tex3]x = y = \frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]a_n[/tex3]
= [tex3]\frac{(1 - \sqrt{2})^{n} + (1 + \sqrt{2})^{n}}{2}[/tex3]