Observe
epharius escreveu: ↑01 Fev 2018, 01:53
c. [tex3]\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}x^2\ln(3x^2+y^2)\arctan\(\frac{1}{y^2-x^2}\)[/tex3]
Uma solução:
Sejam ( r , θ ) as coordenadas polares do ponto ( x , y ) com r ≥ 0. Então, temos
x = r.cos( θ ) , y = r.sen( θ ) , r² = x² + y².
Além disso, uma vez que r ≥ 0 , temos r = √( x² + y² ) , de modo que r → 0 [tex3]^{+}[/tex3]
se , e somente se, ( x , y ) → ( 0 , 0 ). Assim, podemos reescrever o limite dado como
[tex3]\lim_{ r \rightarrow \ 0^+} r^2.cos^2(\theta ).ln[ 3r^2.cos^2(\theta ) + r^2.sen^2(\theta )].arc \ tg \left[\frac{1}{r^2.sen^2(\theta ) - r^2.cos^2(\theta )}\right][/tex3]
[tex3]\lim_{ r \rightarrow \ 0^+} r^2.cos^2(\theta ).
ln [ r^2.( 3cos^2(\theta ) + sen^2(\theta ) ) ].arc \ tg \left\{\frac{1}{r^2. [sen^2(\theta ) - cos^2(\theta )]}\right\}[/tex3]
.
Vamos analisar as funções f( r ) = r².cos²(θ).ln[ r².( 3cos²(θ) + sen²(θ) ) ] e g( r ) = arc tg { 1/[ r².( sen²(θ) - cos²(θ) ) ] }.
Faz mais sentido você aplicar o limite na função f( r ) , para chegar a essa conclusão você terá que analisar bem a função, ter muita "familiaridade" com questões deste tipo( resolver muitas ) e ter em mente o
Teorema do Anulamento .
Temos,
[tex3]\lim_{ r \rightarrow \ 0^+} r^2.cos^2(\theta ).
ln [ r^2.( 3cos^2(\theta ) + sen^2(\theta ) ) ] =[/tex3]
Isso converte o limite para uma forma indeterminada do tipo ( - ∞ )/( + ∞ ).
[tex3]\lim_{ r \rightarrow \ 0^+} \frac{cos^2(\theta ).
ln [ r^2.( 3cos^2(\theta ) + sen^2(\theta ) ) ] }{\frac{1}{r^2}} = [/tex3]
( - ∞ )/( + ∞ ).
Ou
[tex3]\lim_{ r \rightarrow \ 0^+} \frac{cos^2(\theta ).
\{ 2.ln ( r ) + ln[ 3cos^2(\theta ) + sen^2(\theta ) ] \}}{\frac{1}{r^2}} =[/tex3]
Aplicar a regra de L'Hôpital, ou seja, derive numerador e derive o denominador, fica;
[tex3]\lim_{ r \rightarrow \ 0^+} \frac{\frac{2cos^2(\theta )}{r}}{-\frac{2}{r^3}} = [/tex3]
[tex3]\lim_{ r \rightarrow \ 0^+} - r ^2.cos^2(\theta ) = 0 [/tex3]
Agora vamos analisar a função g( r ) = arc tg { 1/[ r².( sen²(θ) - cos²(θ) ) ] } , ou seja , vamos verificar se a mesma é
limitada!!!. Temos
• Se sen²(θ) - cos²(θ) ≥ 0 , então, a função g( r ) é limitada no intervalo
0 < arc tg { 1/[ r².( sen²(θ) - cos²(θ) ) ] } < π/2 ( que é a imagem dessa função!! )
Graficamente:
- MSP1053147e6b1abh9g578800003ii51gd815g605h4.gif (4.29 KiB) Exibido 325 vezes
• Se sen²(θ) - cos²(θ) ≤ 0 , então, a função g( r ) é limitada no intervalo
- π/2 < arc tg { - 1/[ r².( sen²(θ) - cos²(θ) ) ] } < 0 ( que é a imagem dessa função!! )
- MSP665519ad0eb10de588hh000054d3d92cb55c52f2.gif (4.25 KiB) Exibido 325 vezes
Evidentemente, | sen²(θ) - cos²(θ) | ≤ 1 , temos que "olhar" sen²(θ) - cos²(θ) como sendo um número ( valor).
Obs.1 Provavelmente algum autor irá adotar o valor máximo para sen²(θ) - cos²(θ) igual a um(1).( para evitar essas duas análises ) , já que irá chegar na mesma conclusão de que a função g( r ) = arc tg { 1/[ r².( sen²(θ) - cos²(θ) ) ] } é limitada e facilita até mesmo os cálculos.
Assim , como [tex3]\lim_{ r \rightarrow \ 0^+} r^2.cos^2(\theta ).ln[ 3r^2.cos^2(\theta ) + r^2.sen^2(\theta )] [/tex3]
=
0 e a função g( r ) = arc tg { 1/[ r².sen²(θ) - r².cos²(θ) ] } é
limitada , então pelo
Teorema do Anulamento
[tex3]\lim_{ r \rightarrow \ 0^+} r^2.cos^2(\theta ).ln[ 3r^2.cos^2(\theta ) + r^2.sen^2(\theta )].arc \ tg \left[\frac{1}{r^2.sen^2(\theta ) - r^2.cos^2(\theta )}\right][/tex3]
=
0 , e portanto , podemos concluir que [tex3]\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}x^2\ln(3x^2+y^2)\arctan\(\frac{1}{y^2-x^2}\)[/tex3]
= 0.
Obs.2 Todas as conclusões as quais eu cheguei ficará como exercício para o leitor pesquisar e verificar!!!!! Todas!!!
Excelente estudo!
