Sequência definida por Recorrência

maths123 · 2018-01-30T00:24:01-02:00

Seja x_1=1 e ponha x_{n+1}=1+\frac{1}{x_n} . Verifique que |x_{n+2}-x_{n+1}|\leq \frac{1}{2}|x_{n+1}-x_n| . Conclua que existe a=\lim x_n e determine a .

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maths123: Mensagens: 97; Registrado em: 04 Jan 2018, 19:56; Última visita: 03-08-21; Agradeceu: 84 vezes; Agradeceram: 7 vezes

Jan 2018 30 00:24

Sequência definida por Recorrência

Mensagem não lidapor maths123 » 30 Jan 2018, 00:24

Mensagem não lida por maths123 » 30 Jan 2018, 00:24

Seja [tex3]x_1=1[/tex3] e ponha [tex3]x_{n+1}=1+\frac{1}{x_n}[/tex3] . Verifique que [tex3]|x_{n+2}-x_{n+1}|\leq \frac{1}{2}|x_{n+1}-x_n|[/tex3] . Conclua que existe [tex3]a=\lim x_n[/tex3] e determine [tex3]a[/tex3] .

maths123

Andre13000: Mensagens: 847; Registrado em: 18 Mar 2017, 17:30; Última visita: 02-03-22; Agradeceu: 150 vezes; Agradeceram: 562 vezes

Jan 2018 30 19:12

Re: Sequência definida por Recorrência

Mensagem não lidapor Andre13000 » 30 Jan 2018, 19:12

Mensagem não lida por Andre13000 » 30 Jan 2018, 19:12

Não vou resolver a questão, mas fica claro que isso é uma fração contínua. A condição não parece difícil de provar. Depois de provar que existe um limite, basta notar a igualdade

[tex3]a=1+\frac{1}{a}[/tex3]

E achar a resposta final.

“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman

Andre13000

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Últ. msg por Auto Excluído (ID:12031) « 18 Jan 2018, 00:56
Enviado em Ensino Superior
Resp.: 1
por maths123 » 18 Jan 2018, 00:44 » em Ensino Superior

Primeira Postagem

Seja (x_n) , uma sequência com x_n > 0 , definida como
x_1=\sqrt{2}

e

x_{n+1}=\sqrt{2x_n}

Mostrar que (x_n) é crescente, limitada e que seu limite é 2 .

Últ. msg

prova-se por PIF que pra todo n \geq 1 x_n \leq 2

para n=1 isso obviamente é verdade já que \sqrt 2 \leq 2

suponha que x_n \leq 2 funciona para um n qualquer então:

\sqrt{x_n} \leq \sqrt2 e...

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Últ. msg por Auto Excluído (ID:12031)
18 Jan 2018, 00:56
Nova mensagem Sequência definida por Recorrência

Últ. msg por maths123 « 21 Jan 2018, 17:30
Enviado em Ensino Superior
Resp.: 4
por maths123 » 21 Jan 2018, 00:13 » em Ensino Superior

Primeira Postagem

Seja y_1:=\sqrt{p} , onde p > 0 e y_{n+1}:=\sqrt{p+y_n} para n\in \mathbb{N} . Mostre que (y_n) converge e encontre o limite.

(Dica: Primeiro mostre por indução que 1+2\sqrt{p} é uma cota superior).

Últ. msg

Perfeito! Valeu. :D

4 Resp.

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Últ. msg por maths123
21 Jan 2018, 17:30
Nova mensagem Sequência definida por Recorrência

Últ. msg por Auto Excluído (ID:12031) « 21 Jan 2018, 17:23
Enviado em Ensino Superior
Resp.: 3
por maths123 » 21 Jan 2018, 00:19 » em Ensino Superior

Primeira Postagem

Seja x_1=3 e x_{n+1}:=\frac{1}{5}\cdot x_n+4 para todo n \in \mathbb{N} . Mostre que (x_n) é limitada e monótona. Encontre o limite.

Últ. msg

a liberdade vem do fato de que a partir de qualquer sequência a_n podermos construir uma sequência b_n = a_n \pm c para uma constante fixa. A escolha de c=5 foi pra sumir com aquele 4 da expressão...

3 Resp.

1131 Exibições

Últ. msg por Auto Excluído (ID:12031)
21 Jan 2018, 17:23
Nova mensagem Sequência definida por Recorrência

Últ. msg por Auto Excluído (ID:12031) « 01 Fev 2018, 03:27
Enviado em Ensino Superior
Resp.: 1
por maths123 » 01 Fev 2018, 02:36 » em Ensino Superior

Primeira Postagem

Definir por indução (x_n) , tal que x_1=\sqrt{a} e x_{n+1}=\sqrt{a+x_n} . Prove que x_n é convergente e calcule seu limite:
L=\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+...}}}} .

Últ. msg

resolvida

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Últ. msg por Auto Excluído (ID:12031)
01 Fev 2018, 03:27
Nova mensagem Sequência e Recorrência

Últ. msg por Ittalo25 « 31 Jan 2018, 22:53
Enviado em Olimpíadas
Resp.: 1
por Babi123 » 31 Jan 2018, 22:19 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

Uma sequência é definida por a_1=2 e a_n=3a_{n-1}+1 . Determine a soma a_1+a_2+ \ ... \ +a_n

Últ. msg

\begin{cases}
a_2=3a_{1}+1 \\
a_3=3a_{2}+1 \\
a_4=3a_{3}+1 \\
...\\
a_n=3a_{n-1}+1
\end{cases}

Somando tudo:

a_2+ a_3+\ ... \ +a_n = 3\cdot (a_1+a_2+ \ ... \ +a_{n-1}) + n-1...

1 Resp.

777 Exibições

Últ. msg por Ittalo25
31 Jan 2018, 22:53

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