IME / ITA(Escola Naval - 1996) matrizes e trigonometria Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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jvmago
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(Escola Naval - 1996) matrizes e trigonometria

Mensagem não lida por jvmago »

Não consegui transformar os arcos, sempre encontro [tex3]\sen x[/tex3] ou [tex3]\cos x[/tex3] isolados.

Se [tex3]x \in[0,2\pi][/tex3] , o número de soluções da equação

[tex3]\sen^4x+\sen^2x\cos^2x-2\sen^2x+1=\det\begin{pmatrix}
\cos x & \sen^2x & 1 \\
\cos x & \sen x & 0 \\
\cos x & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3] é:

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 6

Última edição: jvmago (Dom 21 Jan, 2018 18:01). Total de 3 vezes.


Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

alevini98
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Re: (Escola Naval - 1996) matrizes e trigonometria

Mensagem não lida por alevini98 »

[tex3]\sen x+\sen^2x\cos^2x-2\sen^2x+1=\det\begin{pmatrix}\cos x&\sen^2x&1\\\cos x&\sen x&0\\\cos x&1&1\end{pmatrix}[/tex3]

Lembrando que [tex3]\det(A)=\det(A^t)[/tex3]

[tex3]\sen x+\sen^2x\cos^2x-2\sen^2x+1=\det\begin{pmatrix}\cos x&\cos x&\cos x\\\sen^2x&\sen x&1\\1&0&1\end{pmatrix}[/tex3]

Lembre também que se trocarmos 2 linhas/colunas da matriz também estaremos trocando o sinal de seu determinante.

[tex3]\sen x+\sen^2x\cos^2x-2\sen^2x+1=\det\begin{pmatrix}1&0&1\\\sen^2x&\sen x&1\\\cos x&\cos x&\cos x\end{pmatrix}[/tex3]

Agora podemos aplicar a regra de Chió

[tex3]\sen x+\sen^2x\cos^2x-2\sen^2x+1=\det\begin{pmatrix}\sen x-0\cdot\sen^2x&1-1\cdot\sen^2x\\\cos x-0\cdot\cos x&\cos x-1\cdot\cos x\end{pmatrix}[/tex3]

[tex3]\sen x+\sen^2x\cos^2x-2\sen^2x+1=\sen x\cdot0-(1-\sen^2x)\cos x\\\sen x+\sen^2x\cos^2x-2\sen^2x+1=-\cos^3x[/tex3]

Veja que [tex3]-2\sen^2x+1=2\cos^2x-1[/tex3] pois ambos são a expansão de [tex3]\cos2x[/tex3] .

[tex3]\sen x+\sen^2x\cos^2x+2\cos^2x-1=-\cos^3x\\\sen x+\cos^2x(\sen^2x+2)-1=-\cos^3x[/tex3]

Substituindo [tex3]\sen^2x[/tex3] por [tex3]1-\cos^2x[/tex3]

[tex3]\sen x+\cos^2x(3-\cos^2x)-1=-\cos^3x\\\sen x+3\cos^2x\cancel{-\cos^3x}-1=\cancel{-\cos^3x}[/tex3]

Substituindo [tex3]\cos^2x[/tex3] por [tex3]1-\sen^2x[/tex3]

[tex3]\sen x+3-3\sen^2x-1=0\\3\sen^2x-\sen x-2=0[/tex3]

Resolvendo a quadrática em [tex3]\sen x[/tex3] obtemos as soluções [tex3]\sen x=1[/tex3] e [tex3]\sen x=-\frac{2}{3}[/tex3] .

Para o intervalo [tex3][0,2\pi][/tex3] vemos que [tex3]\sen x[/tex3] passa duas vezes por 1 e duas vezes por [tex3]-\frac{2}{3}[/tex3] .

Dessa forma, a equação apresenta 4 soluções para o intervalo [tex3][0,2\pi][/tex3] .



Obs.: você não precisa necessariamente encontrar o valor de [tex3]x[/tex3] nesse caso, mas apenas visualizar o ciclo trigonométrico e perceber quantas vezes ele passa por um determinado valor. Seria bom também esboçar o ciclo e os lugares aproximados dos valores de [tex3]\sen x[/tex3] no ciclo. Com isso dá para saber quantas raízes há em determinado intervalo.

Última edição: alevini98 (Dom 21 Jan, 2018 15:26). Total de 2 vezes.



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Re: (Escola Naval - 1996) matrizes e trigonometria

Mensagem não lida por jvmago »

Poxa a resolução está incorreta na parte da distributiva de COSx^2(3-COSx^2). Foi exatamente neste ponto eum que eu não consegui desenvolver a questão pois vamos ter um polinômio de 4 grau de variável cosx porém fica um sen x solto


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alevini98
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Re: (Escola Naval - 1996) matrizes e trigonometria

Mensagem não lida por alevini98 »

alevini98 escreveu:
Dom 21 Jan, 2018 15:23
Substituindo [tex3]\sen^2x[/tex3] por [tex3]1-\cos^2x[/tex3]

[tex3]\sen x+\cos^2x(3-\cos^2x)-1=-\cos^3x\\\sen x+3\cos^2x\cancel{-\cos^3x}-1=\cancel{-\cos^3x}
[/tex3]
Realmente, não havia reparado. Estou pensando em um jeito de lidar com isso.



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Re: (Escola Naval - 1996) matrizes e trigonometria

Mensagem não lida por jvmago »

creio que seja alguma informação errada


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Re: (Escola Naval - 1996) matrizes e trigonometria

Mensagem não lida por jvmago »

Fiz uma carteação aqui em vez de [tex3]sen (x)^1[/tex3] eu substituí por [tex3]sen (x)^2[/tex3] e obtive a seguinte expressão:

[tex3](cos(x))^2[(cos(x))^2 + cos(x) -2] = 0[/tex3] que resultaria em [tex3]cos(x)= 0[/tex3] ou [tex3]cos(x)= 1[/tex3] ou [tex3]cos(x) = -2[/tex3]

resultando em 6 soluções
Última edição: jvmago (Dom 21 Jan, 2018 17:13). Total de 2 vezes.


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Re: (Escola Naval - 1996) matrizes e trigonometria

Mensagem não lida por jvmago »

Modifiquei o enunciado, creio que o erro tenha sido o [tex3]sen^1x[/tex3] . Mas muito obrigado pela força


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LucasPinafi
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Re: (Escola Naval - 1996) matrizes e trigonometria

Mensagem não lida por LucasPinafi »

kkk não faz sentido, pq o autor da prova ia escrever sen² x e lás na frente um - 2 sen² x
pq nao escreveu - sen² x logo? Vou pesquisar sobre essa questão


Ser ̶m̶e̶l̶h̶o̶r̶ pior a cada dia

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Re: (Escola Naval - 1996) matrizes e trigonometria

Mensagem não lida por jvmago »

O calculos do Alevini bateram com o meu até a parte da distributiva. Ainda acho que seja algum erro de informação na matriz.


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alevini98
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Re: (Escola Naval - 1996) matrizes e trigonometria

Mensagem não lida por alevini98 »

LucasPinafi escreveu:
Dom 21 Jan, 2018 17:33
kkk não faz sentido, pq o autor da prova ia escrever sen² x e lás na frente um - 2 sen² x
pq nao escreveu - sen² x logo? Vou pesquisar sobre essa questão
Verdade, ia dizer o mesmo. Eu tentei pesquisar sobre essa questão, mas os sites em que procurei falta justamente esse ano.

E não poderia ser [tex3]\sen^3x[/tex3] no lugar do [tex3]\sen^2x[/tex3] que acabou de editar acima?

Última edição: alevini98 (Dom 21 Jan, 2018 17:38). Total de 1 vez.



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