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[Flavio2020]

Achar a se a e b são inteiros tais que [tex3]x² - x - 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x² - x - 1[/tex3]

é fator de [tex3]ax^{17 } + bx^{16}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ax^{17 } + bx^{16}[/tex3]

+1.

Resposta

---

R:973

[Ittalo25]

Poderia conferir o gabarito?

[tex3]x^2-x-1= 0 \rightarrow x = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2-x-1= 0 \rightarrow x = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2} [/tex3]

Então:

[tex3]\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{17} a + \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{16} b + 1 = 0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{17} a + \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{16} b + 1 = 0 [/tex3]

[tex3]\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{17} a +\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{16} b + 1= 0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{17} a +\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{16} b + 1= 0 [/tex3]

Subtraindo as duas:

[tex3](\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{17} - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{17})a +(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{16} - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{16})b= 0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{17} - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{17})a +(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{16} - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{16})b= 0 [/tex3]

[tex3]F_{17} \cdot a +F_{16}\cdot b= 0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]F_{17} \cdot a +F_{16}\cdot b= 0 [/tex3]

[tex3]1567 a +987 b= 0 [/tex3]

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[tex3]1567 a +987 b= 0 [/tex3]

Se a=973, então b não seria inteiro

[Flavio2020]

Boa tarde Ittalo.
Questão retirada do material Farias Brito e confere com o gabarito.
Um forte abraço...

[Auto Excluído (ID:12031)]

Ittalo25, o número de Fibonacci é a soma não a diferença dos números ali, não?

[Ittalo25]

Ittalo25, o número de Fibonacci é a soma não a diferença dos números ali, não?

é a diferença mesmo
o gabarito realmente está errado, o colega alevini98 me mandou um link com a resposta
1988 AIME Problem 13

As soluções 1 e 3 são bem trabalhosas e comuns, já a solução 4 é incompleta. Mas o que me chamou atenção mesmo foi a solução 2 que tráz a fórmula fechada:

[tex3]x^{n+2} = F_{n+1} \cdot x + F_n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{n+2} = F_{n+1} \cdot x + F_n[/tex3]

Eu nunca tinha visto essa. Sabe como demonstrá-la?

[Auto Excluído (ID:12031)]

indução em n? [tex3]x^2 = x + 1 = F_1 x + F_0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2 = x + 1 = F_1 x + F_0 [/tex3]

[tex3]x^{n+2} = F_{n+1}x+F_n \implies x^{n+3} = F_{n+1}(x^2) + F_n x = (F_{n+1}+F_n)x + F_{n+1} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{n+2} = F_{n+1}x+F_n \implies x^{n+3} = F_{n+1}(x^2) + F_n x = (F_{n+1}+F_n)x + F_{n+1} [/tex3]