Segundo o gráfico [tex3]P[/tex3]
b) [tex3]45^{\circ}[/tex3]
c) [tex3]50^{\circ}[/tex3]
d) [tex3]55^{\circ}[/tex3]
e) [tex3]60^{\circ}[/tex3]
e [tex3]Q[/tex3]
são os pontos de tangência, se [tex3]\alpha + \theta = 140^{\circ}[/tex3]
, calcule o ângulo [tex3]ABC[/tex3]
.
a) [tex3]40^{\circ}[/tex3]
IME / ITA ⇒ (Peruano) Ângulos Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jan 2018
30
19:10
Re: (Peruano) Ângulos
boa noite, você o possui gabarito?
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
Jan 2018
30
21:03
Re: (Peruano) Ângulos
Chamaremos de [tex3]O[/tex3]
Tracemos uma tangente [tex3]TN[/tex3] que intercepta a reta [tex3]OO'[/tex3] em [tex3]B[/tex3] e a reta [tex3]AC[/tex3] em [tex3]N[/tex3] .
Como [tex3]TB[/tex3] e [tex3]PT[/tex3] são retas tangentes a circunferência maior temos [tex3]PT = TB[/tex3] . Em relação a circunferência menor,temos então que [tex3]TB = TQ[/tex3] .
Trace as perpendiculares [tex3]OP[/tex3] e [tex3]O'Q[/tex3] .
O angulo [tex3]AÔP= 2\theta [/tex3] , e o angulo [tex3]CÔ'Q=2\alpha [/tex3] .
Pela consequência dos angulos de segmento teremos:
Os angulos [tex3]PBT[/tex3] e [tex3]BPT[/tex3] são angulos de segmento iguais a [tex3]a[/tex3] , os angulos [tex3]TBQ[/tex3] e [tex3]TQB[/tex3] iguais a [tex3]b[/tex3] , [tex3]ABN=x[/tex3] e [tex3]NBC=y[/tex3] .
Conseguimos deduzir agora que:
[tex3]AÔB=2x[/tex3] , [tex3]BÔP=2a[/tex3] ,[tex3]BÔ'C=2y[/tex3] , [tex3]BÔ'Q=2b[/tex3] .
Finalmente temos o seguinte: [tex3]\begin{cases}
2\alpha =2x+2a \\
2\theta =2y+2b
\end{cases}[/tex3]
Somando as equações teremos
[tex3]2(\theta +\alpha )=2(x+y)+2(a+b)[/tex3]
[tex3](\theta +\alpha )=(x+y)+(a+b)[/tex3] note no [tex3]\Delta PBQ[/tex3] que [tex3]2(a+b)=180[/tex3] [tex3]a+b=90[/tex3]
[tex3]140=90+(a+b)[/tex3]
[tex3]a+b=50°=ABC[/tex3]
o centro da circunferência maior e de [tex3]O'[/tex3]
o centro da circunferência menor.Tracemos uma tangente [tex3]TN[/tex3] que intercepta a reta [tex3]OO'[/tex3] em [tex3]B[/tex3] e a reta [tex3]AC[/tex3] em [tex3]N[/tex3] .
Como [tex3]TB[/tex3] e [tex3]PT[/tex3] são retas tangentes a circunferência maior temos [tex3]PT = TB[/tex3] . Em relação a circunferência menor,temos então que [tex3]TB = TQ[/tex3] .
Trace as perpendiculares [tex3]OP[/tex3] e [tex3]O'Q[/tex3] .
O angulo [tex3]AÔP= 2\theta [/tex3] , e o angulo [tex3]CÔ'Q=2\alpha [/tex3] .
Pela consequência dos angulos de segmento teremos:
Os angulos [tex3]PBT[/tex3] e [tex3]BPT[/tex3] são angulos de segmento iguais a [tex3]a[/tex3] , os angulos [tex3]TBQ[/tex3] e [tex3]TQB[/tex3] iguais a [tex3]b[/tex3] , [tex3]ABN=x[/tex3] e [tex3]NBC=y[/tex3] .
Conseguimos deduzir agora que:
[tex3]AÔB=2x[/tex3] , [tex3]BÔP=2a[/tex3] ,[tex3]BÔ'C=2y[/tex3] , [tex3]BÔ'Q=2b[/tex3] .
Finalmente temos o seguinte: [tex3]\begin{cases}
2\alpha =2x+2a \\
2\theta =2y+2b
\end{cases}[/tex3]
Somando as equações teremos
[tex3]2(\theta +\alpha )=2(x+y)+2(a+b)[/tex3]
[tex3](\theta +\alpha )=(x+y)+(a+b)[/tex3] note no [tex3]\Delta PBQ[/tex3] que [tex3]2(a+b)=180[/tex3] [tex3]a+b=90[/tex3]
[tex3]140=90+(a+b)[/tex3]
[tex3]a+b=50°=ABC[/tex3]
Última edição: jvmago (Ter 30 Jan, 2018 21:04). Total de 1 vez.
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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