IME / ITA ⇒ (Simulado ITA) Sólido de Revolução Tópico resolvido
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13
18:06
(Simulado ITA) Sólido de Revolução
Considere o sólido de revolução obtido pela rotação de um triângulo isósceles ABC em torno de uma reta paralela à base BC que dista 0,25 cm do vértice A e 0,75 cm da base BC. Se o lado AB mede [tex3]\frac{\sqrt{π^{2}+1}}{2π}[/tex3]
a)[tex3]\frac{9}{16}[/tex3]
b)[tex3]\frac{13}{96}[/tex3]
c)[tex3]\frac{7}{24}[/tex3]
d)[tex3]\frac{9}{24}[/tex3]
e)[tex3]\frac{11}{96}[/tex3]
Eu não estou conseguindo visualizar o sólido formado, então se possível adicionar a imagem. Obrigada
cm, o volume desse solido, em [tex3]cm^{3}[/tex3]
, é igual a:a)[tex3]\frac{9}{16}[/tex3]
b)[tex3]\frac{13}{96}[/tex3]
c)[tex3]\frac{7}{24}[/tex3]
d)[tex3]\frac{9}{24}[/tex3]
e)[tex3]\frac{11}{96}[/tex3]
Eu não estou conseguindo visualizar o sólido formado, então se possível adicionar a imagem. Obrigada
Última edição: caju (Sáb 13 Jan, 2018 19:26). Total de 4 vezes.
Razão: Arrumar título.
Razão: Arrumar título.
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16
20:44
Re: (Simulado ITA) Sólido de Revolução
Olá!
Na realidade a resposta completa seria :
C)[tex3]\left(\frac{7}{24}\right)(\sqrt{π² - π + 1})cm³[/tex3]
Na realidade a resposta completa seria :
C)[tex3]\left(\frac{7}{24}\right)(\sqrt{π² - π + 1})cm³[/tex3]
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Jan 2018
18
19:55
Re: (Simulado ITA) Sólido de Revolução
Olá Cardoso.. sim, a letra C é a correta.. mas como vc chegou nela?
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19
18:35
Re: (Simulado ITA) Sólido de Revolução
Olá!
Observe:
Ao rotacionar o triângulo em torno da reta mencionada acima, o sólido que irá se formar será um cilindro "ocado", no qual a parte "ocada" trata-se de dois troncos de cone ( um na parte esquerda e outro `a direita ).
Calculando a altura do tronco de cone, considerando o triângulo retângulo ABM, onde AB( hipotenusa ) , AM ( cateto , altura do triângulo ABC ) e BM ( cateto, onde M é ponto médio da base BC ) , temos:
( AB )² = ( BM )² + ( AM )²
[tex3]\left(\frac{\sqrt{π² + 1}}{2π}\right)^{2}[/tex3] = ( BM )² + [tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^{2}[/tex3]
[tex3]\frac{π² + 1}{4π²}[/tex3] = ( BM )² + [tex3]\frac{1}{4}[/tex3]
( BM )² = [tex3]\frac{π² + 1}{4π²} - \frac{1}{4}[/tex3]
( BM )² = [tex3]\frac{π² + 1 - π²}{4π²}[/tex3]
BM = [tex3]\sqrt{\frac{1}{4π²}}[/tex3]
Logo;
BM = [tex3]\frac{1}{2π}[/tex3] ( altura do tronco de cone, que corresponde também a metade da base do triângulo ABC )
e
BC = [tex3]\frac{1}{π}[/tex3] ( altura do cilindro "ocado" ,que corresponde também a base do triângulo ABC ).
Por outro lado, o raio do cilindro é [tex3]r_{cil}=
0,75 = \frac{3}{4} [/tex3] ( corresponde a distância da reta `a base BC do triângulo ABC )
Calculando o volume do cilindro, temos:
[tex3]V_{cil}[/tex3] = π.[tex3]r²_{cil}[/tex3] .[tex3]h_{cil}[/tex3]
[tex3]V_{cil}[/tex3] = π.[tex3]\left(\frac{3}{4}\right)^{2}[/tex3] .[tex3]\left(\frac{1}{π}\right)[/tex3]
[tex3]V_{cil}[/tex3] = [tex3]\left(\frac{9}{16}\right)\cdot ( 1 )[/tex3]
[tex3]V_{cil}[/tex3] = [tex3]\left(\frac{9}{16}\right) [/tex3] cm³
O raio maior do tronco de cone equivale ao raio do cilindro ( [tex3]R_{tc} = r_{cil} = \frac{3}{4}[/tex3] ), com relação ao raio menor do tronco de cone corresponde `a distância da reta paralela `a base BC do triângulo ABC ao vértice A, ou seja , [tex3]r_{tc} = 0,25 = \frac{1}{4}[/tex3] , daí, calculando o volume dos dois troncos de cone, temos:
[tex3]V_{tc} = \left(\frac{π\cdot h_{tc}}{3}\right)\cdot ( R_{tc}^{2} + R_{tc}\cdot r_{tc} + r_{tc}^{2} )[/tex3]
Como são dois troncos de cone, multiplicamos por dois(2), fica;
[tex3]V_{tc} = \left(\frac{2π\cdot \frac{1}{2π}}{3}\right)\cdot [/tex3] [ [tex3]\left(\frac{3}{4}\right)^{2} + \left(\frac{3}{4}\right)\cdot \left(\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4}\right)^{2}[/tex3] ]
Desenvolvendo, resulta em;
[tex3]V_{tc} = \left(\frac{13}{48}\right) [/tex3] cm³
Portanto, o volume do sólido resultante é:
[tex3]V_{sr}[/tex3] = [tex3]V_{cil} - V_{tc}[/tex3]
[tex3]V_{sr} = \left(\frac{9}{16}\right) - \left(\frac{13}{48}\right)[/tex3]
[tex3]V_{sr} = \left(\frac{27 - 13}{48}\right)[/tex3]
[tex3]V_{sr} = \left(\frac{14}{48}\right)[/tex3]
[tex3]V_{sr} = \left(\frac{7}{24}\right)cm³[/tex3] , alternativa C).
Nota:
Infelizmente não foi possível enviar a figura, resolvido através do meu celular, não sei se é por causa disso...
Observe:
Ao rotacionar o triângulo em torno da reta mencionada acima, o sólido que irá se formar será um cilindro "ocado", no qual a parte "ocada" trata-se de dois troncos de cone ( um na parte esquerda e outro `a direita ).
Calculando a altura do tronco de cone, considerando o triângulo retângulo ABM, onde AB( hipotenusa ) , AM ( cateto , altura do triângulo ABC ) e BM ( cateto, onde M é ponto médio da base BC ) , temos:
( AB )² = ( BM )² + ( AM )²
[tex3]\left(\frac{\sqrt{π² + 1}}{2π}\right)^{2}[/tex3] = ( BM )² + [tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^{2}[/tex3]
[tex3]\frac{π² + 1}{4π²}[/tex3] = ( BM )² + [tex3]\frac{1}{4}[/tex3]
( BM )² = [tex3]\frac{π² + 1}{4π²} - \frac{1}{4}[/tex3]
( BM )² = [tex3]\frac{π² + 1 - π²}{4π²}[/tex3]
BM = [tex3]\sqrt{\frac{1}{4π²}}[/tex3]
Logo;
BM = [tex3]\frac{1}{2π}[/tex3] ( altura do tronco de cone, que corresponde também a metade da base do triângulo ABC )
e
BC = [tex3]\frac{1}{π}[/tex3] ( altura do cilindro "ocado" ,que corresponde também a base do triângulo ABC ).
Por outro lado, o raio do cilindro é [tex3]r_{cil}=
0,75 = \frac{3}{4} [/tex3] ( corresponde a distância da reta `a base BC do triângulo ABC )
Calculando o volume do cilindro, temos:
[tex3]V_{cil}[/tex3] = π.[tex3]r²_{cil}[/tex3] .[tex3]h_{cil}[/tex3]
[tex3]V_{cil}[/tex3] = π.[tex3]\left(\frac{3}{4}\right)^{2}[/tex3] .[tex3]\left(\frac{1}{π}\right)[/tex3]
[tex3]V_{cil}[/tex3] = [tex3]\left(\frac{9}{16}\right)\cdot ( 1 )[/tex3]
[tex3]V_{cil}[/tex3] = [tex3]\left(\frac{9}{16}\right) [/tex3] cm³
O raio maior do tronco de cone equivale ao raio do cilindro ( [tex3]R_{tc} = r_{cil} = \frac{3}{4}[/tex3] ), com relação ao raio menor do tronco de cone corresponde `a distância da reta paralela `a base BC do triângulo ABC ao vértice A, ou seja , [tex3]r_{tc} = 0,25 = \frac{1}{4}[/tex3] , daí, calculando o volume dos dois troncos de cone, temos:
[tex3]V_{tc} = \left(\frac{π\cdot h_{tc}}{3}\right)\cdot ( R_{tc}^{2} + R_{tc}\cdot r_{tc} + r_{tc}^{2} )[/tex3]
Como são dois troncos de cone, multiplicamos por dois(2), fica;
[tex3]V_{tc} = \left(\frac{2π\cdot \frac{1}{2π}}{3}\right)\cdot [/tex3] [ [tex3]\left(\frac{3}{4}\right)^{2} + \left(\frac{3}{4}\right)\cdot \left(\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4}\right)^{2}[/tex3] ]
Desenvolvendo, resulta em;
[tex3]V_{tc} = \left(\frac{13}{48}\right) [/tex3] cm³
Portanto, o volume do sólido resultante é:
[tex3]V_{sr}[/tex3] = [tex3]V_{cil} - V_{tc}[/tex3]
[tex3]V_{sr} = \left(\frac{9}{16}\right) - \left(\frac{13}{48}\right)[/tex3]
[tex3]V_{sr} = \left(\frac{27 - 13}{48}\right)[/tex3]
[tex3]V_{sr} = \left(\frac{14}{48}\right)[/tex3]
[tex3]V_{sr} = \left(\frac{7}{24}\right)cm³[/tex3] , alternativa C).
Nota:
Infelizmente não foi possível enviar a figura, resolvido através do meu celular, não sei se é por causa disso...
Última edição: Cardoso1979 (Sáb 20 Jan, 2018 14:53). Total de 2 vezes.
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Jan 2018
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18:52
Re: (Simulado ITA) Sólido de Revolução
Muito obrigada Cardoso1979!! .. Não tem problema.. vc explicou tão bem q consegui visualizar . Sua resposta ficou muito boa.. Obrigada
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Jan 2018
19
21:26
Re: (Simulado ITA) Sólido de Revolução
Tem uma solução bem mais simples usando o teorema de Papus
O teorema afirma que o volume do sólido será igual o produto da área da figura (no caso o triângulo ABC) vezes e comprimento do círculo gerado pelo baricentro da figura.
Veja que a altura é h = 0,75 - 0,25 = 0,5 cm
O baricentro estará localizado a 0,5/3 cm da base, de modo que a distância do baricentro até a reta é d= 3/4 - 1/6 = 7/12 cm
Cálculo da base do triângulo por Pitágoras:
[tex3]\ell^2 = \frac{\pi ^2 +1}{4\pi^2} - \frac{1}{4} = \frac{\pi^2 +1 -\pi^2}{4\pi^2} = \frac{1}{4\pi^2}\therefore \ell = \frac{1}{2\pi}[/tex3] de modo que a base mede [tex3]2\ell = \frac 1 \pi [/tex3] . Logo, a área será [tex3]A= \frac{2\ell h}{2} = \frac{\frac 1 \pi \frac 1 2}{2} = \frac{1}{4\pi} cm^2[/tex3]
[tex3]\therefore V = 2\pi d A = 2\pi \frac 7 {12} \frac {1}{4\pi} = \frac 7 {24}[/tex3] cm³
a resolução do colega deve possuir algum erro
O teorema afirma que o volume do sólido será igual o produto da área da figura (no caso o triângulo ABC) vezes e comprimento do círculo gerado pelo baricentro da figura.
Veja que a altura é h = 0,75 - 0,25 = 0,5 cm
O baricentro estará localizado a 0,5/3 cm da base, de modo que a distância do baricentro até a reta é d= 3/4 - 1/6 = 7/12 cm
Cálculo da base do triângulo por Pitágoras:
[tex3]\ell^2 = \frac{\pi ^2 +1}{4\pi^2} - \frac{1}{4} = \frac{\pi^2 +1 -\pi^2}{4\pi^2} = \frac{1}{4\pi^2}\therefore \ell = \frac{1}{2\pi}[/tex3] de modo que a base mede [tex3]2\ell = \frac 1 \pi [/tex3] . Logo, a área será [tex3]A= \frac{2\ell h}{2} = \frac{\frac 1 \pi \frac 1 2}{2} = \frac{1}{4\pi} cm^2[/tex3]
[tex3]\therefore V = 2\pi d A = 2\pi \frac 7 {12} \frac {1}{4\pi} = \frac 7 {24}[/tex3] cm³
a resolução do colega deve possuir algum erro
Ser ̶m̶e̶l̶h̶o̶r̶ pior a cada dia
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21:27
Re: (Simulado ITA) Sólido de Revolução
obs: essa questão é do ITA 2014, e o gabarito oficial está como letra c)
Ser ̶m̶e̶l̶h̶o̶r̶ pior a cada dia
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Jan 2018
19
21:49
Re: (Simulado ITA) Sólido de Revolução
Não sabia q essa questão já havia caído na prova oficial.. peguei de um simulado mesmo.. Também n conhecia o teorema de Papus, obrigada por me apresentar a ele. Sinceramente foquei apenas na explicação do Cardoso1979 pois apenas n estava conseguindo visualizar o sólido fiz sozinha por isso n reparei muito no cálculo dele.. Obrigada LucasPinafi.. vou ver se encontro o erro do Cardoso1979 comparando com os meus cálculos, pois creio que segui um caminho semelhante ao dele
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Jan 2018
19
22:14
Re: (Simulado ITA) Sólido de Revolução
Cardoso.. creio q seu erro esteja na primeira operação, pois a altura vai dar [tex3]\frac{1}{2π}[/tex3]
Última edição: tobeornottobe (Sex 19 Jan, 2018 23:46). Total de 1 vez.
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Jan 2018
20
12:52
Re: (Simulado ITA) Sólido de Revolução
Olá!
Perdão, somente agora vi o meu erro...o meu erro está na terceira linha , no início do cálculo, ou melhor, na aplicação do teorema de Pitágoras, infelizmente com esse erro o problema se estendeu até o final do cálculo
[tex3]\left(\frac{\sqrt{π² + 1}}{2π}\right)^{2}[/tex3] = ( BM )² + [tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^{2}[/tex3]
[tex3]\frac{π² + 1}{4π²}[/tex3] = ( BM )² + [tex3]\frac{1}{4}[/tex3] ( o início do erro está aqui, esqueci de elevar o pi (π) do denominador ao quadrado )
( BM )² = [tex3]\frac{π² + 1}{4π²} - \frac{1}{4}[/tex3]
( BM )² = [tex3]\frac{π² + 1 - π²}{4π²}[/tex3]
( BM )² = [tex3]\frac{1}{4π²}[/tex3]
BM = [tex3]\sqrt{\frac{1}{4π²}}[/tex3]
BM = [tex3]\frac{1}{2π}[/tex3] ( aqui está a altura do "tronco de cone", daqui para frente ,basta usar esse valor que chegará ao resultado correto, mais uma vez perdão pelo meu equívoco, e obrigado ao LucasPinafi, por ter me alertado...a solução dele está excelente, eu sinceramente não havia pensado nessa maneira aí.
PS : Consegui editar e consequentemente corrigi a resolução.
Perdão, somente agora vi o meu erro...o meu erro está na terceira linha , no início do cálculo, ou melhor, na aplicação do teorema de Pitágoras, infelizmente com esse erro o problema se estendeu até o final do cálculo
[tex3]\left(\frac{\sqrt{π² + 1}}{2π}\right)^{2}[/tex3] = ( BM )² + [tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^{2}[/tex3]
[tex3]\frac{π² + 1}{4π²}[/tex3] = ( BM )² + [tex3]\frac{1}{4}[/tex3] ( o início do erro está aqui, esqueci de elevar o pi (π) do denominador ao quadrado )
( BM )² = [tex3]\frac{π² + 1}{4π²} - \frac{1}{4}[/tex3]
( BM )² = [tex3]\frac{π² + 1 - π²}{4π²}[/tex3]
( BM )² = [tex3]\frac{1}{4π²}[/tex3]
BM = [tex3]\sqrt{\frac{1}{4π²}}[/tex3]
BM = [tex3]\frac{1}{2π}[/tex3] ( aqui está a altura do "tronco de cone", daqui para frente ,basta usar esse valor que chegará ao resultado correto, mais uma vez perdão pelo meu equívoco, e obrigado ao LucasPinafi, por ter me alertado...a solução dele está excelente, eu sinceramente não havia pensado nessa maneira aí.
PS : Consegui editar e consequentemente corrigi a resolução.
Última edição: Cardoso1979 (Sáb 20 Jan, 2018 15:01). Total de 1 vez.
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