Passe para coordenadas esfericas e coloque os limites de integracao da integral:
[tex3]\int\limits_{-a}^{a}dx\int\limits_{-\sqrt{a^{2}-x^{2}}}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dy\int\limits_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}}f(x^{2}+y^{2})dz[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Integral Tripla - Coordenadas Esfericas Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
-
Cardoso1979 
- Mensagens: 4008
- Registrado em: Sex 05 Jan, 2018 19:45
- Última visita: 04-04-23
- Localização: Teresina- PI
Jan 2018
11
02:16
Re: Integral Tripla - Coordenadas Esfericas
Olá!
Solução:
z = [tex3]\sqrt{a^{2} - x^{2} - y^{2}}[/tex3] ( parte superior da esfera ), temos:
[tex3]z^{2} = a^{2} - x^{2} - y^{2}[/tex3]
[tex3]x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}[/tex3]
Daí;
( I )[tex3]\begin{cases}
x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}( esfera\ de\ raio\ a )\\
z = 0( plano )
\end{cases}[/tex3]
De ( I ), temos:
[tex3]x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2} [/tex3]
[tex3]( \rho \sen\phi cos\theta)^{2} + ( \rho \sen \phi \sen \theta )^{2} + ( \rho \cos \phi
)^{2} = a^{2} [/tex3]
[tex3]\rho ^{2}\sen^{2}\phi ( cos^{2}\theta + sen^{2}\theta ) + \rho^{2}cos^{2}\phi = a^{2} [/tex3]
Lembrando que [tex3]cos^{2}x + sen^{2}x =
1 [/tex3] , vem;
[tex3]\rho ^{2}sen^{2}\phi + \rho ^{2}cos^{2}\phi = a^{2}[/tex3]
Logo, [tex3]\rho = a[/tex3]
e
z = 0 [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]\rho\cos\phi = 0 \rightarrow \rho = 0[/tex3]
Então, [tex3]0 \leq \rho \leq a [/tex3]
( I I )[tex3]\begin{cases}
y = \sqrt{a^{2} - x^{2}}\\
y = - \sqrt{a^{2} - x^{2}}
\end{cases}[/tex3] ( cilindro de raio "a" )
De ( II ), vem;
[tex3]x^{2} + y^{2} = a^{2}[/tex3]
[tex3]\rho^{2}sen^{2}\phi = a^{2} [/tex3]
[tex3]sen\phi = \frac{a}{\rho }[/tex3]
Como [tex3]\rho = a[/tex3] , fica;
[tex3]sen\phi = \frac{a}{a}[/tex3]
[tex3]sen\phi = 1 [/tex3] , [tex3]\rightarrow \phi =\frac{\pi }{2}[/tex3]
Por outro lado;
z = 0 [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]\rho cos\phi
= 0 [/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]\phi
= \frac{\pi }{2} [/tex3]
Podemos concluir que , [tex3]0 \leq \phi \leq \frac{\pi }{2} [/tex3]
Por fim;
x = a ( reta )
[tex3]\rho sen\phi cos\theta = a[/tex3]
[tex3]sen\phi\cos\theta = 1 [/tex3]
[tex3]1\cdot cos\theta = 1\rightarrow \theta = 2\pi [/tex3] ou [tex3]\theta = 0 [/tex3] , daí 0 [tex3]\leq \theta \leq [/tex3] 2 [tex3]\pi [/tex3]
Portanto, os limites de integração em coordenadas esféricas são:
{[tex3](\theta ,\phi ,\rho ) \in \mathbb{R}^{3}|
0\leq \rho \leq a ; 0 \leq \phi \leq \frac{\pi }{2} ; 0 \leq \theta \leq 2\pi [/tex3] }
Logo;
[tex3]\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{π/2}\int\limits_{0}^{a}\rho⁴\sen³\phi d\rho d\phi d\theta [/tex3]
Nota:
[tex3]x = \rho\sen\phi\cos\theta [/tex3]
[tex3]y =\rho\sen\phi \sen\theta [/tex3]
[tex3]z =\rho\cos\phi [/tex3]
[tex3]x^{2}+y^{2}=\rho^{2}sen^{2}\phi [/tex3]
dzdydx = [tex3]\rho^{2}sen\phi d\rho d\phi d\theta [/tex3]
Ass. Rondineli Cardoso
Solução:
z = [tex3]\sqrt{a^{2} - x^{2} - y^{2}}[/tex3] ( parte superior da esfera ), temos:
[tex3]z^{2} = a^{2} - x^{2} - y^{2}[/tex3]
[tex3]x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}[/tex3]
Daí;
( I )[tex3]\begin{cases}
x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}( esfera\ de\ raio\ a )\\
z = 0( plano )
\end{cases}[/tex3]
De ( I ), temos:
[tex3]x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2} [/tex3]
[tex3]( \rho \sen\phi cos\theta)^{2} + ( \rho \sen \phi \sen \theta )^{2} + ( \rho \cos \phi
)^{2} = a^{2} [/tex3]
[tex3]\rho ^{2}\sen^{2}\phi ( cos^{2}\theta + sen^{2}\theta ) + \rho^{2}cos^{2}\phi = a^{2} [/tex3]
Lembrando que [tex3]cos^{2}x + sen^{2}x =
1 [/tex3] , vem;
[tex3]\rho ^{2}sen^{2}\phi + \rho ^{2}cos^{2}\phi = a^{2}[/tex3]
Logo, [tex3]\rho = a[/tex3]
e
z = 0 [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]\rho\cos\phi = 0 \rightarrow \rho = 0[/tex3]
Então, [tex3]0 \leq \rho \leq a [/tex3]
( I I )[tex3]\begin{cases}
y = \sqrt{a^{2} - x^{2}}\\
y = - \sqrt{a^{2} - x^{2}}
\end{cases}[/tex3] ( cilindro de raio "a" )
De ( II ), vem;
[tex3]x^{2} + y^{2} = a^{2}[/tex3]
[tex3]\rho^{2}sen^{2}\phi = a^{2} [/tex3]
[tex3]sen\phi = \frac{a}{\rho }[/tex3]
Como [tex3]\rho = a[/tex3] , fica;
[tex3]sen\phi = \frac{a}{a}[/tex3]
[tex3]sen\phi = 1 [/tex3] , [tex3]\rightarrow \phi =\frac{\pi }{2}[/tex3]
Por outro lado;
z = 0 [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]\rho cos\phi
= 0 [/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]\phi
= \frac{\pi }{2} [/tex3]
Podemos concluir que , [tex3]0 \leq \phi \leq \frac{\pi }{2} [/tex3]
Por fim;
x = a ( reta )
[tex3]\rho sen\phi cos\theta = a[/tex3]
[tex3]sen\phi\cos\theta = 1 [/tex3]
[tex3]1\cdot cos\theta = 1\rightarrow \theta = 2\pi [/tex3] ou [tex3]\theta = 0 [/tex3] , daí 0 [tex3]\leq \theta \leq [/tex3] 2 [tex3]\pi [/tex3]
Portanto, os limites de integração em coordenadas esféricas são:
{[tex3](\theta ,\phi ,\rho ) \in \mathbb{R}^{3}|
0\leq \rho \leq a ; 0 \leq \phi \leq \frac{\pi }{2} ; 0 \leq \theta \leq 2\pi [/tex3] }
Logo;
[tex3]\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{π/2}\int\limits_{0}^{a}\rho⁴\sen³\phi d\rho d\phi d\theta [/tex3]
Nota:
[tex3]x = \rho\sen\phi\cos\theta [/tex3]
[tex3]y =\rho\sen\phi \sen\theta [/tex3]
[tex3]z =\rho\cos\phi [/tex3]
[tex3]x^{2}+y^{2}=\rho^{2}sen^{2}\phi [/tex3]
dzdydx = [tex3]\rho^{2}sen\phi d\rho d\phi d\theta [/tex3]
Ass. Rondineli Cardoso
Última edição: Cardoso1979 (Sex 12 Jan, 2018 00:12). Total de 5 vezes.
-
Cardoso1979
- Mensagens: 4008
- Registrado em: Sex 05 Jan, 2018 19:45
- Última visita: 04-04-23
- Localização: Teresina- PI
Fev 2018
03
18:03
Re: Integral Tripla - Coordenadas Esfericas
Observe:
Solução
[tex3]Denotando \ a \ integral \ interada \
por \ I, temos\ que:[/tex3]
[tex3]I = \int\limits_{}^{}\int\limits_{W}^{}\int\limits_{}^{}( x² + y² )dzdydx[/tex3]
Onde;
[tex3]W = \begin{cases}
\end{cases}( x , y , z ) \in \mathbb{R}^{3} ; - a \leq x\leq a, - \sqrt{a² - x²} \leq y\leq \sqrt{a² -
x²} , 0 \leq z \leq \sqrt{a²-x²-y²} [/tex3] }
Ou
[tex3]W = \begin{cases}
{ ( x,y ,z ) \in \mathbb{R}^{3} ; (x,y) \in D \ e \ 0 \leq z\leq \sqrt{a² - x² - y²}}\end{cases}[/tex3] }
[tex3]Onde\ D: \begin{cases}
-a\leq x \leq a \\
-\sqrt{a² - x²}\leq y\leq \sqrt{a² - x²} é\ a\ projeção\ de\ W\ no\ plano\ xy
\end{cases} [/tex3]
Então;
De [tex3]0\leq z \leq \sqrt{a²-x²-y²} [/tex3] concluímos que o sólido W é limitado superiormente pela superfície z = [tex3]\sqrt{a² - x² - y²}[/tex3] ou x² + y² + z² = a², com z [tex3]\geq 0[/tex3] , que é a semiesfera superior de raio a e centro C( 0 , 0 , 0 ) e é limitado inferiormente pelo plano xy de equação z = 0. Considerando que a projeção de W no plano xy é a região De, temos:
Passando para coordenadas esféricas, temos:
[tex3]\begin{cases}
x = \rho\sen\phi\cos\theta \\
y =\rho\sen\phi \sen\theta \\
z =\rho\cos\phi \\
x^{2}+y^{2}=\rho^{2}sen^{2}\phi \\
dzdydx = \rho^{2}sen\phi d\rho d\phi d\theta \\
x² + y² + z² = \rho²
\end{cases}[/tex3]
Como a projeção de W no plano xy é o conjunto D( círculo, volta completaComo o integrando x² + y² transforma-se em [tex3]\rho².sen²\phi [/tex3] , então;
[tex3]I=\int\limits_{W_{\rho \phi \theta }}^{}\int\limits_{}^{}\int\limits_{}^{}\rho ²sen²\phi .\rho ²sen\phi d\rho d\phi d\theta [/tex3]
Invertendo a ordem de integração, fica;
[tex3]I=\int\limits_{0}^{π}\int\limits_{0}^{a}\int\limits_{0}^{2π}\rho ^{4}sen^{3}\phi d\theta d \rho d\phi [/tex3]
Como trata-se de uma semiesfera, devemos multiplicar por [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] , vem;
[tex3]I= \frac{1}{2}\int\limits_{0}^{π}\int\limits_{0}^{a}\int\limits_{0}^{2π}\rho ^{4}sen^{3}\phi d\theta d \rho d\phi [/tex3]
[tex3]I= \frac{1}{2}\int\limits_{0}^{π}\int\limits_{0}^{a}2π\rho ^{4}sen^{3}\phi d \rho d\phi [/tex3]
[tex3]I=π\int\limits_{0}^{π}\int\limits_{0}^{a}\rho ^{4}sen^{3}\phi d \rho d\phi [/tex3]
[tex3]I=π\int\limits_{0}^{π}\frac{a^{5}}{5}sen^{3}\phi d\phi [/tex3]
[tex3]I=\frac{a^{5}\pi }{5}\int\limits_{0}^{π}sen^{3}\phi d\phi [/tex3]
[tex3]I=\frac{a^{5}\pi }{5}.[ \frac{1}{12}.( cos(3\phi ) - 9cos(\phi ))] [/tex3]
Substituindo os valores [tex3]\pi [/tex3] e 0 acima resulta em;
[tex3]I=\frac{a^{5}\pi }{60}.( - 1 + 9-1+9) [/tex3]
[tex3]I=\frac{a^{5}\pi }{60}.16 [/tex3]
[tex3]I=\frac{4a^{5}\pi }{15} [/tex3]
Nota:
Para encontrar os valores de [tex3]\rho [/tex3] , você poderia usar o seguinte artifício.
0 [tex3]\leq z\leq \sqrt{a²-x²-y²}[/tex3]
Então,
z = 0 [tex3]\rightarrow \rho cos\phi = 0\rightarrow \rho =0[/tex3]
e
[tex3]z = \sqrt{a² - x²-y²}\rightarrow \rho² cos²\phi = a² - \rho ²sen²\phi \rightarrow \rho² = a²\rightarrow \rho =a[/tex3]
Bons estudos para quem estiver estudando este assunto!!
Ass. Rondineli Cardoso de Araújo
Solução
[tex3]Denotando \ a \ integral \ interada \
por \ I, temos\ que:[/tex3]
[tex3]I = \int\limits_{}^{}\int\limits_{W}^{}\int\limits_{}^{}( x² + y² )dzdydx[/tex3]
Onde;
[tex3]W = \begin{cases}
\end{cases}( x , y , z ) \in \mathbb{R}^{3} ; - a \leq x\leq a, - \sqrt{a² - x²} \leq y\leq \sqrt{a² -
x²} , 0 \leq z \leq \sqrt{a²-x²-y²} [/tex3] }
Ou
[tex3]W = \begin{cases}
{ ( x,y ,z ) \in \mathbb{R}^{3} ; (x,y) \in D \ e \ 0 \leq z\leq \sqrt{a² - x² - y²}}\end{cases}[/tex3] }
[tex3]Onde\ D: \begin{cases}
-a\leq x \leq a \\
-\sqrt{a² - x²}\leq y\leq \sqrt{a² - x²} é\ a\ projeção\ de\ W\ no\ plano\ xy
\end{cases} [/tex3]
Então;
- 15176827085411087458106.jpg (39.75 KiB) Exibido 1346 vezes
De [tex3]0\leq z \leq \sqrt{a²-x²-y²} [/tex3] concluímos que o sólido W é limitado superiormente pela superfície z = [tex3]\sqrt{a² - x² - y²}[/tex3] ou x² + y² + z² = a², com z [tex3]\geq 0[/tex3] , que é a semiesfera superior de raio a e centro C( 0 , 0 , 0 ) e é limitado inferiormente pelo plano xy de equação z = 0. Considerando que a projeção de W no plano xy é a região De, temos:
- 15176832146931458461499.jpg (53.63 KiB) Exibido 1346 vezes
Passando para coordenadas esféricas, temos:
[tex3]\begin{cases}
x = \rho\sen\phi\cos\theta \\
y =\rho\sen\phi \sen\theta \\
z =\rho\cos\phi \\
x^{2}+y^{2}=\rho^{2}sen^{2}\phi \\
dzdydx = \rho^{2}sen\phi d\rho d\phi d\theta \\
x² + y² + z² = \rho²
\end{cases}[/tex3]
Como a projeção de W no plano xy é o conjunto D( círculo, volta completaComo o integrando x² + y² transforma-se em [tex3]\rho².sen²\phi [/tex3] , então;
[tex3]I=\int\limits_{W_{\rho \phi \theta }}^{}\int\limits_{}^{}\int\limits_{}^{}\rho ²sen²\phi .\rho ²sen\phi d\rho d\phi d\theta [/tex3]
Invertendo a ordem de integração, fica;
[tex3]I=\int\limits_{0}^{π}\int\limits_{0}^{a}\int\limits_{0}^{2π}\rho ^{4}sen^{3}\phi d\theta d \rho d\phi [/tex3]
Como trata-se de uma semiesfera, devemos multiplicar por [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] , vem;
[tex3]I= \frac{1}{2}\int\limits_{0}^{π}\int\limits_{0}^{a}\int\limits_{0}^{2π}\rho ^{4}sen^{3}\phi d\theta d \rho d\phi [/tex3]
[tex3]I= \frac{1}{2}\int\limits_{0}^{π}\int\limits_{0}^{a}2π\rho ^{4}sen^{3}\phi d \rho d\phi [/tex3]
[tex3]I=π\int\limits_{0}^{π}\int\limits_{0}^{a}\rho ^{4}sen^{3}\phi d \rho d\phi [/tex3]
[tex3]I=π\int\limits_{0}^{π}\frac{a^{5}}{5}sen^{3}\phi d\phi [/tex3]
[tex3]I=\frac{a^{5}\pi }{5}\int\limits_{0}^{π}sen^{3}\phi d\phi [/tex3]
[tex3]I=\frac{a^{5}\pi }{5}.[ \frac{1}{12}.( cos(3\phi ) - 9cos(\phi ))] [/tex3]
Substituindo os valores [tex3]\pi [/tex3] e 0 acima resulta em;
[tex3]I=\frac{a^{5}\pi }{60}.( - 1 + 9-1+9) [/tex3]
[tex3]I=\frac{a^{5}\pi }{60}.16 [/tex3]
[tex3]I=\frac{4a^{5}\pi }{15} [/tex3]
Nota:
Para encontrar os valores de [tex3]\rho [/tex3] , você poderia usar o seguinte artifício.
0 [tex3]\leq z\leq \sqrt{a²-x²-y²}[/tex3]
Então,
z = 0 [tex3]\rightarrow \rho cos\phi = 0\rightarrow \rho =0[/tex3]
e
[tex3]z = \sqrt{a² - x²-y²}\rightarrow \rho² cos²\phi = a² - \rho ²sen²\phi \rightarrow \rho² = a²\rightarrow \rho =a[/tex3]
Bons estudos para quem estiver estudando este assunto!!
Ass. Rondineli Cardoso de Araújo
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
-
- 1 Respostas
- 565 Exibições
-
Última msg por Cardoso1979
-
- 1 Respostas
- 490 Exibições
-
Última msg por Cardoso1979
-
- 0 Respostas
- 525 Exibições
-
Última msg por Connectfull00
-
- 0 Respostas
- 364 Exibições
-
Última msg por Idocrase
-
- 0 Respostas
- 145 Exibições
-
Última msg por Idocrase
