Ensino Superior ⇒ Limites Tópico resolvido

[hid]

Sabendo que [tex3]\lim_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{ax-1}{ax+1}\right)^{x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{ax-1}{ax+1}\right)^{x}[/tex3]

=9, determine o valor de a.


Não faço ideia de como resolver isso, nem estou com o gabarito na mão. Espero que alguém possa me ajudar, obrigado pela sua atenção.

[LucasPinafi]

Passa o ln nos dois lados.
[tex3]\ln \left( \lim_{ x \to \infty} \left[\frac{ax-1}{ax+1} \right]^x\right) = \ln 9 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\ln \left( \lim_{ x \to \infty} \left[\frac{ax-1}{ax+1} \right]^x\right) = \ln 9 [/tex3]

Agora, tu deve lembrar que [tex3]\ln \lim f(x) = \lim \ln f(x) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\ln \lim f(x) = \lim \ln f(x) [/tex3]

.. Isso pq ln(x) é uma função contínua.
Continuando,
[tex3]\lim_{ x \to \infty } \ln \left(\frac{ax-1}{ax+1} \right)^x = \ln 9 \Longrightarrow \lim_{x \to \infty} \left(x \cdot \ln \frac{ax-1}{ax+1} \right) = \ln 9 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{ x \to \infty } \ln \left(\frac{ax-1}{ax+1} \right)^x = \ln 9 \Longrightarrow \lim_{x \to \infty} \left(x \cdot \ln \frac{ax-1}{ax+1} \right) = \ln 9 [/tex3]

Aqui, usamos o fato de que [tex3]\ln x^a = a \ln x [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\ln x^a = a \ln x [/tex3]

. Agora, lembre que [tex3]\ln (a/b) = \ln a - \ln b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\ln (a/b) = \ln a - \ln b[/tex3]

. Portanto, temos:
[tex3]\lim_{ x \to \infty} x\left( \ln (ax-1) - \ln (ax+1) \right) = \ln 9 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{ x \to \infty} x\left( \ln (ax-1) - \ln (ax+1) \right) = \ln 9 [/tex3]

A ideia central vai ser aplicar L'Hospital. Portanto, devemos ter uma indeterminação. Para isso, podemos escrever que x = 1/(1/x):
[tex3]\lim_{ x \to \infty} \frac{\ln (ax-1) - \ln (ax+1)}{1/x} = \ln 9 \Longrightarrow \lim_{ x \to \infty} \frac{\frac{a}{ax-1} - \frac{a}{ax+1}}{-1/x^2} = \ln 9 \\ \lim_{ x \to \infty} \frac{a\frac{ax+1 - (ax-1)}{(ax-1)(ax+1)}}{-1/x^2} = \lim_{ x \to \infty} \frac{-2ax^2}{(ax-1)(ax+1)} = \lim_{ x \to \infty} \frac{-2ax^2}{a^2 x^2 -1} = \lim_{ x \to \infty} \frac{-2a}{a^2 - 1/x^2} = -\frac {2a} {a^2} = \ln 9 \\ - \frac 2 a = \ln 9 \Longrightarrow a = -\frac{2}{\ln 9} = - \frac{1}{\ln 3} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{ x \to \infty} \frac{\ln (ax-1) - \ln (ax+1)}{1/x} = \ln 9 \Longrightarrow \lim_{ x \to \infty} \frac{\frac{a}{ax-1} - \frac{a}{ax+1}}{-1/x^2} = \ln 9 \\ \lim_{ x \to \infty} \frac{a\frac{ax+1 - (ax-1)}{(ax-1)(ax+1)}}{-1/x^2} = \lim_{ x \to \infty} \frac{-2ax^2}{(ax-1)(ax+1)} = \lim_{ x \to \infty} \frac{-2ax^2}{a^2 x^2 -1} = \lim_{ x \to \infty} \frac{-2a}{a^2 - 1/x^2} = -\frac {2a} {a^2} = \ln 9 \\ - \frac 2 a = \ln 9 \Longrightarrow a = -\frac{2}{\ln 9} = - \frac{1}{\ln 3} [/tex3]

:D

[Cardoso1979]

Olá!
Segue em anexo outra maneira de resolver essa questão.

04786EF9-12DE-4A44-A431-DB24C2B46DCF.jpeg (128.97 KiB) Exibido 671 vezes