Ensino Superior ⇒ Derivada Trigonométrica Tópico resolvido

[Deleted User 19359]

Seja g(x) = [tex3]\csc x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\csc x[/tex3]

. Calcule.

a) g'(x)

b) g'[tex3]\left(\frac{\pi }{4}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{\pi }{4}\right)[/tex3]

[lorramrj]

Seja csc(x) = 1/sen(x)

Então:

[tex3]g(x) = (sen(x))^{-1}[/tex3]

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[tex3]g(x) = (sen(x))^{-1}[/tex3]

(a)

:> REGRA DA CADEIA:
[tex3]g'(x) = -(sen(x))^{-2} * (cos(x)) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]g'(x) = -(sen(x))^{-2} * (cos(x)) [/tex3]

Logo:

[tex3]g'(x) = \dfrac {-cos(x)} {sen^{2}(x)} [/tex3]

(b) Aplicando [tex3]x = \pi/4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x = \pi/4[/tex3]

em [tex3]g'(x)[/tex3]

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[tex3]g'(x)[/tex3]

:

[tex3]g'(\pi/4) = \dfrac {-\sqrt{2}/2} { (\sqrt2/2)^2}[/tex3]

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[tex3]g'(\pi/4) = \dfrac {-\sqrt{2}/2} { (\sqrt2/2)^2}[/tex3]

Chegamos em:

[tex3] g'(\pi/4) = -\sqrt 2[/tex3]

[PedroCosta]

A derivada da cossecante pode ser obtida pela regra do quociente:
[tex3]g'(x) = (csc x)' = \left( \frac{1}{senx}\right)' = \frac{1'\cdot senx - 1\cdot (senx)'}{sen^2x} = - \frac{ cosx}{sen^2x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]g'(x) = (csc x)' = \left( \frac{1}{senx}\right)' = \frac{1'\cdot senx - 1\cdot (senx)'}{sen^2x} = - \frac{ cosx}{sen^2x}[/tex3]

Para o item b, você só precisará que o valor de x seja [tex3]\frac{\pi}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\pi}{4}[/tex3]

:
[tex3]g'(\frac{\pi}{4}) = - \frac{ cos\frac{\pi}{4}}{sen^2\frac{\pi}{4}} = -\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = - (\frac{\sqrt{2}}{2})^{-1}
= -\sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]g'(\frac{\pi}{4}) = - \frac{ cos\frac{\pi}{4}}{sen^2\frac{\pi}{4}} = -\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = - (\frac{\sqrt{2}}{2})^{-1}
= -\sqrt{2}[/tex3]

[Deleted User 19359]

Seja csc(x) = 1/sen(x)

Então:

[tex3]g(x) = (sen(x))^{-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]g(x) = (sen(x))^{-1}[/tex3]

(a)

:> REGRA DA CADEIA:
[tex3]g'(x) = -(sen(x))^{-2} * (cos(x)) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]g'(x) = -(sen(x))^{-2} * (cos(x)) [/tex3]

Logo:

[tex3]g'(x) = \dfrac {-cos(x)} {sen^{2}(x)} [/tex3]

(b) Aplicando [tex3]x = \pi/4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x = \pi/4[/tex3]

em [tex3]g'(x)[/tex3]

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[tex3]g'(x)[/tex3]

:

[tex3]g'(\pi/4) = \dfrac {-\sqrt{2}/2} { (\sqrt2/2)^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]g'(\pi/4) = \dfrac {-\sqrt{2}/2} { (\sqrt2/2)^2}[/tex3]

Chegamos em:

[tex3] g'(\pi/4) = -\sqrt 2[/tex3]

Olá, brother! Aqui no livro do Guidorizzi tem dizendo que a letra A é igual -cosecx.cotgx. Não bateu com a sua. Tem algo de errado?

[PedroCosta]

Nada de errado com as resoluções. É somente uma simplificação do autor.
[tex3]g'(x) = (csc x)' = \left( \frac{1}{senx}\right)' = \frac{1'\cdot senx - 1\cdot (senx)'}{sen^2x} = - \frac{ cosx}{sen^2x} = -\frac{cosx}{senx}\cdot \frac{1}{senx} = -cotgx \cdot cscx[/tex3]

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[tex3]g'(x) = (csc x)' = \left( \frac{1}{senx}\right)' = \frac{1'\cdot senx - 1\cdot (senx)'}{sen^2x} = - \frac{ cosx}{sen^2x} = -\frac{cosx}{senx}\cdot \frac{1}{senx} = -cotgx \cdot cscx[/tex3]

[Deleted User 19359]

Nada de errado com as resoluções. É somente uma simplificação do autor.
[tex3]g'(x) = (csc x)' = \left( \frac{1}{senx}\right)' = \frac{1'\cdot senx - 1\cdot (senx)'}{sen^2x} = - \frac{ cosx}{sen^2x} = -\frac{cosx}{senx}\cdot \frac{1}{senx} = -cotgx \cdot cscx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]g'(x) = (csc x)' = \left( \frac{1}{senx}\right)' = \frac{1'\cdot senx - 1\cdot (senx)'}{sen^2x} = - \frac{ cosx}{sen^2x} = -\frac{cosx}{senx}\cdot \frac{1}{senx} = -cotgx \cdot cscx[/tex3]

Muito obrigado! Desculpe minha falta de conhecimento. Abraço.