IME / ITA ⇒ (IME-72) Determinar a base que torna válida a igualdade Tópico resolvido

[lucrdjds]

Seja b>1

b) Determine em que base de numeração é verificada a igualdade [tex3](2002)_b+(21)_5=(220)_b+(1121)_b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](2002)_b+(21)_5=(220)_b+(1121)_b[/tex3]

Fiz da seguinte forma:

[tex3]2.b^0+0b^1+0b^2+2b^3~~+1.5^0+1.5^1=0b^0+2b^1+2b^2~~+~~1b^0+2b^1+2b^2+1b^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2.b^0+0b^1+0b^2+2b^3~~+1.5^0+1.5^1=0b^0+2b^1+2b^2~~+~~1b^0+2b^1+2b^2+1b^3[/tex3]

]

[tex3]1+b^3+10+1=2b+2b^2+2b+b^2+b^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1+b^3+10+1=2b+2b^2+2b+b^2+b^3[/tex3]

[tex3]12+2b^3=4b+3b^2+b^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]12+2b^3=4b+3b^2+b^3[/tex3]

[tex3]12=4b+3b^2-b^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]12=4b+3b^2-b^3[/tex3]

O que faço a partir daqui?

[Catador]

[tex3]b^{3}[/tex3]

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[tex3]b^{3}[/tex3]

-3 [tex3]b^{2}[/tex3]

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[tex3]b^{2}[/tex3]

-4b+12=0
Por inspeção verificamos que 2 é raiz, então aplica Briot-Ruffini para reduzir o grau do polinômio e encontrar as outras raízes.
Outra alternativa seria fazer por fatoração:
[tex3]b^{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b^{3}[/tex3]

-3 [tex3]b^{2}[/tex3]

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[tex3]b^{2}[/tex3]

-4b+12=0
[tex3]b^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b^{2}[/tex3]

(b-3)-4(b-3)=0
(b-3).(b²-4)=0
b-3=0
b=3
ou
b²-4=0
b²=4
b=-2 ou b=2
Só serve b=2 ou b=3 pois b>1, no entanto, b=2 não serve pq só pode aparecer os algarismos 0 e 1 quando a base é 2. Logo, b=3.

[lucrdjds]

E como determino qual seria a resposta que deveria utilizar para tal base? De certa forma seria 3, pois os valores indicados não podem estar em base 2 (2002) e (1121), mas tem alguma forma de determinar apenas uma raiz como resposta ou eu tenho que julgar qual é aplicável mesmo?

[Catador]

Eu posso ter me enganado, mas tem alguns erros nas suas primeiras linhas, no entanto, a equação que se chega no final após os procedimentos algébricos confere com a sua.

[Catador]

E como determino qual seria a resposta que deveria utilizar para tal base? De certa forma seria 3, pois os valores indicados não podem estar em base 2 (2002) e (1121), mas tem alguma forma de determinar apenas uma raiz como resposta ou eu tenho que julgar qual é aplicável mesmo?

Eu usaria apenas a restrição b>1 do enunciado.
A questão original do IME pede em que base(s) de numeração é verificada a igualdade, então a meu ver seria perfeitamente cabível ter duas respostas possíveis.
Obs. Eu fui verificar no arquivo do Sérgio Lima Neto a questão original, mas infelizmente no arquivo que tenho aqui não tem a resolução dessa questão do ano de 1971/1972.

[lucrdjds]

Porém, a resposta do gabarito é 3. Eu não conheço ainda Briot-Ruffini, mas com esse método, acharei 3 raízes para minha equação, e assim como a equação de segundo grau, escolher uma das raízes que valida a minha equação?

[Catador]

Porém, a resposta do gabarito é 3. Eu não conheço ainda Briot-Ruffini, mas com esse método, acharei 3 raízes para minha equação, e assim como a equação de segundo grau, escolher uma das raízes que valida a minha equação?

Eu usaria apenas a restrição b>1 do enunciado.
A questão original do IME pede "em que base(s) de numeração é verificada a igualdade", então a meu ver seria perfeitamente cabível ter duas respostas possíveis.
Obs. Eu fui verificar no arquivo do Sérgio Lima Neto a questão original, mas infelizmente no arquivo que tenho aqui não tem a resolução dessa questão do ano de 1971/1972. Estou achando que transcreveram errado na sua apostila

[Catador]

Se você testar b=2 ou b=3 na equação original poderá verificar que a igualdade é válida.
Na verdade tanto por fatoração quanto por Briot Ruffini se chega a três raízes, e a restrição é feita utilizando a condição b>1, por isso elimina-se a raiz negativa -2.

[lucrdjds]

Sim, entendi esse ponto, para a equação, seguindo a restrição b>1, b=2 e b=3 são válidos, mas ao incluir no assunto de bases, [tex3](2002)_2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](2002)_2[/tex3]

não é possível, pois a base 2 só permite 0 e 1, já a base 3 permite 0, 1, 2, sendo [tex3](2002)_3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](2002)_3[/tex3]

válido.

[Catador]

Sim, entendi esse ponto, para a equação, seguindo a restrição b>1, b=2 e b=3 são válidos, mas ao incluir no assunto de bases, [tex3](2002)_2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](2002)_2[/tex3]

não é possível, pois a base 2 só permite 0 e 1, já a base 3 permite 0, 1, 2, sendo [tex3](2002)_3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](2002)_3[/tex3]

válido.

Verdade, desculpe a demora, estou fazendo um monte de coisas ao mesmo tempo.
Então b=2 não serve pq só pode aparecer os algarismos 0 e 1. Logo, b=3.