IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1985) Geometria Plana: Triângulos Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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ALDRIN
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Jul 2008 15 20:40

(Colégio Naval - 1985) Geometria Plana: Triângulos

Mensagem não lidapor ALDRIN » Ter 15 Jul, 2008 20:40

Mensagem não lida por ALDRIN »

Em um triângulo os lados de medidas [tex3]m[/tex3] e [tex3]n[/tex3] são opostos, respectivamente, aos ângulos de [tex3]60^\circ[/tex3] e [tex3]40^\circ.[/tex3] O segmento da bissetriz do maior ângulo interno do triângulo é dado por:

a) [tex3]m\sqrt{\frac{m+n}{n}}.[/tex3]
b) [tex3]n\sqrt{\frac{m+n}{m}}.[/tex3]
c) [tex3]m\sqrt{\frac{n}{m+n}}.[/tex3]
d) [tex3]n\sqrt{\frac{m}{m+n}}.[/tex3]
e) [tex3]\sqrt{\frac{m}{n}}.[/tex3]
Resposta:
c
Última edição: caju (Qua 08 Jan, 2020 19:18). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3


"O ângulo inscrito no semicírculo é reto."
Ao descobrir essa verdade Tales fez sacrifício aos deuses.

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caju
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Jul 2008 19 14:22

Re: (Colégio Naval - 1985) Geometria Plana: Triângulos

Mensagem não lidapor caju » Sáb 19 Jul, 2008 14:22

Mensagem não lida por caju »

Olá Aldrin,

Veja o desenho da situação descrita no enunciado:
  • tri.GIF
    tri.GIF (2.92 KiB) Exibido 2571 vezes
O ângulo [tex3]ACB[/tex3] vale [tex3]80^\circ[/tex3] pois a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre [tex3]180^\circ[/tex3] . Sendo [tex3]CD[/tex3] uma bissetriz, temos que o ângulo [tex3]DCA[/tex3] vale [tex3]40^\circ[/tex3] , portanto, o triângulo [tex3]BCD[/tex3] é isósceles com [tex3]BD=DC=x[/tex3] .

Veja que, anotando os valores de todos os ângulos da figura, podemos concluir que os triângulos [tex3]ACB[/tex3] e [tex3]ADC[/tex3] são semelhantes, com a semelhança indicada abaixo:
  • [tex3]\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}=\frac{CB}{DC}[/tex3]

    [tex3]\frac{n}{AD}=\frac{AD+x}{n}=\frac{m}{x}[/tex3]
Igualando a primeira com a terceira razão:
  • [tex3]\frac{n}{AD}=\frac{m}{x}[/tex3]

    [tex3]AD=\frac{nx}{m}[/tex3]
Agora, igualando a segunda com a terceira razão:
  • [tex3]\frac{\frac{nx}{m}+x}{n}=\frac{m}{x}[/tex3]

    [tex3]x^2=\frac{m^2n}{m+n}[/tex3]

    [tex3]x=m\sqrt{\frac{n}{m+n}}[/tex3]
Última edição: caju (Qua 08 Jan, 2020 19:19). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3


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adrianotavares
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Re: (Colégio Naval - 1985) Geometria Plana: Triângulos

Mensagem não lidapor adrianotavares » Sáb 19 Jul, 2008 22:45

Mensagem não lida por adrianotavares »

Olá Aldrin, estou postando a forma de como eu resolvi este exercício, porém é muito mais trabalhosa do que a do professor Caju que resolveu em poucas linhas.
AB41.png
AB41.png (5.91 KiB) Exibido 2416 vezes
[tex3]m:[/tex3] o comprimento do segmento [tex3]AB[/tex3]
[tex3]n:[/tex3] o comprimento do segmento [tex3]CB[/tex3]
[tex3]x:[/tex3] o comprimento do segmento [tex3]AM[/tex3]
[tex3]y:[/tex3] o comprimento do segmento [tex3]MC[/tex3]
[tex3]a:[/tex3] o comprimento do seguimento [tex3]AC[/tex3]
[tex3]\ell:[/tex3] o comprimento do segmento [tex3]BM[/tex3]
[tex3]40^\circ :[/tex3] ângulo oposto a [tex3]n[/tex3]
[tex3]60^\circ :[/tex3] ângulo oposto a [tex3]m[/tex3]
[tex3]x = \ell,[/tex3] pois [tex3]\triangleAMB[/tex3] é isósceles.

Aplicando a relação de Stewart temos:
  • [tex3]n^2 x + m^2 y - \ell^2 a = a x y[/tex3]
    [tex3]n^2 \ell + m^2 y - \ell^2 a = a \ell y \text{ } (i)[/tex3]

Utilizando o Teorema da Bissetriz interna temos:
  • [tex3]\frac{AB}{AM} = \frac{CB}{MC}[/tex3]
    [tex3]\frac{m}{\ell} = \frac{n}{y}[/tex3]
    [tex3]y = \frac{\ell n}{m}\text{ } (ii)[/tex3]
  • [tex3]a = x + y[/tex3]
    [tex3]a = \ell + \frac{\ell n}{m}[/tex3]
    [tex3]a =\frac{ \ell \cdot (m + n)}{m}\text{ } (iii)[/tex3]

Substituindo [tex3](iii)[/tex3] e [tex3](ii)[/tex3] em [tex3](i)[/tex3] temos :
  • [tex3]n^2 \ell + m^2 y - \ell ^2 a = a \ell y[/tex3]
    [tex3]n^2 \ell + m^2\cdot \frac{\ell n}{m} - \ell ^2\cdot \frac{\ell \cdot(m + n)}{m} = \frac{ \ell \cdot (m + n)}{m}\cdot \ell\cdot \frac{\ell n}{m}[/tex3]
    [tex3]n^2 \ell + m \ell n - \frac{\ell^3 (m + n)}{m} = \frac{ \ell ^3 n (m + n)}{m^2}[/tex3]
    [tex3]\frac{ m^2 n^2 \ell + m^3 n \ell - m^2 \ell^3 - m n \ell^3}{m^2} = \frac{m n \ell^3 + n^2 \ell^3}{m^2}[/tex3]
    [tex3]m^2 n^2\ell + m^3 n \ell - m^2 \ell^3 - m n \ell^3 = m n \ell^3 + n^2 \ell ^3[/tex3]
Dividindo todos os termos da equação por [tex3]\ell[/tex3] temos:
  • [tex3]m^2 n^2 + m^3 n - m^2 \ell^2 - m n \ell^2 = m n \ell^2 + n^2 \ell^2[/tex3]
    [tex3]2 m n \ell^2 + n^2 \ell^2 + m^2 \ell^2 = m^2 n^2 + m^3 n[/tex3]
    [tex3]\ell^2. (m^2 + 2 m n + n^2) = nm^2(m + n)[/tex3]
Lembrando que [tex3]a^2 + 2 ab + b^2 = (a + b)^2[/tex3] teremos:
  • [tex3]\ell^2 (m + n)^2 = n m^2 (m + n)[/tex3]
    [tex3]\ell^2 = \frac {nm^2(m + n)}{(m + n)^2}[/tex3]
    [tex3]\ell^2 = \frac{nm^2}{m + n}[/tex3]
    [tex3]\ell = \sqrt{\frac{n m^2}{m + n}}[/tex3]
    [tex3]\ell = m \sqrt{\frac{n}{m + n}}[/tex3]
Alternativa: c

Peço desculpa a todos por não ter conseguido postar uma figura mais explicativa.
Última edição: caju (Qua 08 Jan, 2020 19:19). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3


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