tradução
daqui
Defina [tex3]P_n=\max(p_1,…,p_n)[/tex3]
. Mostremos que [tex3]p_{n+1}≤P_n+2022[/tex3]
.
Se [tex3]p_n=2[/tex3]
ou [tex3]p_{n−1}=2[/tex3]
, o resultado advirá do fato de que [tex3]p_{n+1}≤p_n+p_{n−1}+2020 \leq 2022 + p_n \leq 2022 + P_n[/tex3]
. Se [tex3]p_n[/tex3]
e [tex3]p_{n−1}[/tex3]
forem ambos ímpares, então [tex3]p_n+p_{n−1}+2020[/tex3]
será par, portanto, teremos [tex3]p_{n+1}≤\frac12(p_n+p_{n−1}+2020) < P_n+2022[/tex3]
(note que isso também é verdade quando [tex3]p_n+p_{n−1}+2020[/tex3]
é uma potência de [tex3]2[/tex3]
).
Então, para alcançar um primo grande [tex3]Q[/tex3]
, primeiro devemos alcançar um primo no intervalo [tex3][Q,Q−2022][/tex3]
. Porém, existem sequências arbitrariamente longas de números compostos arbitrariamente longos (por exemplo, [tex3]N!+2
, N!+3, ..., N!+N
[/tex3]
nos dá [tex3]N-1[/tex3]
números compostos consecutivos); logo, a sequência [tex3]p_n[/tex3]
deve ser limitada.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.