Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST 1999) Sistema Linear Tópico resolvido

[lincoln1000]

Considere o sistema linear nas incógnitas [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

, [tex3]y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y[/tex3]

, [tex3]z[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z[/tex3]

e [tex3]w[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]w[/tex3]

:
[tex3]\begin{cases}
2x+my=-2 \\
x+y=-1 \\
y+(m-1)z+2w=2 \\
z-w=1
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
2x+my=-2 \\
x+y=-1 \\
y+(m-1)z+2w=2 \\
z-w=1
\end{cases}[/tex3]

a) Para que valores de [tex3]m[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m[/tex3]

, o sistema tem uma única solução?

Resposta

---

[tex3]m\neq -1\ e\ m\neq 2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m\neq -1\ e\ m\neq 2[/tex3]

b) Para que valores de [tex3]m[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m[/tex3]

, o sistema não tem solução?

Resposta

---

[tex3]m=-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m=-1[/tex3]

c) Para [tex3]m=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m=2[/tex3]

, calcule o valor de [tex3]2x+y-z-2w[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2x+y-z-2w[/tex3]

Resposta

---

[tex3]-4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-4[/tex3]

[petras]

a) Única solução --> Determinante [tex3]\neq 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\neq 0[/tex3]

[tex3]\begin{vmatrix}
2&m &0 &0 \\
1&1 &0 &0 \\
0& 1 &m-1 &2 \\
0&0 &1 &-1
\end{vmatrix}\rightarrow D= m^2-m-2\neq 0 \rightarrow \boxed{m\neq 2 \ e \ m\neq -1} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{vmatrix}
2&m &0 &0 \\
1&1 &0 &0 \\
0& 1 &m-1 &2 \\
0&0 &1 &-1
\end{vmatrix}\rightarrow D= m^2-m-2\neq 0 \rightarrow \boxed{m\neq 2 \ e \ m\neq -1} [/tex3]

b) para m = 2
[tex3]\begin{vmatrix}
2&2 &0 &0 &-2 \\
1&1 &0 &0 &2\\
0& 1 &1 &2 &1\\
0&0 &1 &-1 &0
\end{vmatrix}\rightarrow escalonando \rightarrow \begin{vmatrix}
2&2 &0 &0&-2 \\
0&1 &1 &2 &2 \\
0& 0 &1 &-1&1 \\
0&0 &0 &0 &0
\end{vmatrix}\rightarrow [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{vmatrix}
2&2 &0 &0 &-2 \\
1&1 &0 &0 &2\\
0& 1 &1 &2 &1\\
0&0 &1 &-1 &0
\end{vmatrix}\rightarrow escalonando \rightarrow \begin{vmatrix}
2&2 &0 &0&-2 \\
0&1 &1 &2 &2 \\
0& 0 &1 &-1&1 \\
0&0 &0 &0 &0
\end{vmatrix}\rightarrow [/tex3]

O sistema é compatível e indeterminado (existem infinitas soluções).

para m = -1
[tex3]\begin{vmatrix}
2&-1 &0 &0&-2 \\
1&1 &0 &0&-1 \\
0& 1 &-2 &2&2 \\
0&0 &1 &-1&1
\end{vmatrix}\rightarrow escalonando \rightarrow \begin{vmatrix}
2&-1 &0 &0&-2 \\
0&1 &-2 &2 &2 \\
0& 0 &3 &-3&-3 \\
0&0 &0 &0&2
\end{vmatrix}\rightarrow [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{vmatrix}
2&-1 &0 &0&-2 \\
1&1 &0 &0&-1 \\
0& 1 &-2 &2&2 \\
0&0 &1 &-1&1
\end{vmatrix}\rightarrow escalonando \rightarrow \begin{vmatrix}
2&-1 &0 &0&-2 \\
0&1 &-2 &2 &2 \\
0& 0 &3 &-3&-3 \\
0&0 &0 &0&2
\end{vmatrix}\rightarrow [/tex3]

[tex3]\boxed{\text{Portanto para m = -1 o sistema é impossível}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\text{Portanto para m = -1 o sistema é impossível}}[/tex3]

c) 2x + y - z - 4w (V)
Para m = 2 temos
2x + 2y = -2 (VI)
y+ z + 2w = 2 --> y-2 = -z-w (VII) substituindo em (V) temos:
2x+y +y - 2 = 2x+ 2y -2 de (VI) ficaremos com -2-2 = [tex3]\boxed{-4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{-4}[/tex3]

[lincoln1000]

Muito obrigado petras!

[brunocbbc]

Estou confuso nessa também.
Na alternativa a, calculei por meio do teorema de Laplace, pela ultima coluna com mais zeros, cheguei no resultado m diferente de 2 mas não diferente de -1. O que fiz de errado?
Petras, a "A" você fez por escalonamento?

[petras]

brunocbbc,

Poste sua solução para saber onde vocÊ está errando

[brunocbbc]

Então, peguei a matriz [tex3]\begin{pmatrix}
2 &m & -2 & 0 \\
1 & 1 & -1 & 0 \\
1 & m+1 & 2& 2 \\
1 & -1 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
2 &m & -2 & 0 \\
1 & 1 & -1 & 0 \\
1 & m+1 & 2& 2 \\
1 & -1 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Fiz o teorema de Laplace por meio da ultima coluna, det=8-4m. Fazendo 8-4m=/=0 resulta em m diferente de 2, como chego no resultado de m diferente de -1?

[petras]

brunocbbc,

Por Laplace:

[tex3]D=2.c_{11}+1.c_{21}\\
2.(-1)^2\begin{vmatrix}
1 &0 &0 \\
1&m-1 &2 \\
0 &1 &-1 \\
\end{vmatrix}=2.(-m+1-2) = -2m-2\\
1.(-1)^3\begin{vmatrix}
m & 0 &0 \\
1&m-1 &2 \\
0&1 &-1 \\
\end{vmatrix}=-1(-m^2+m-2m) = m^2-m+2m\\
\therefore D=m^2-m+2m-2m-2 = \boxed{m^2-m-2}\color{green}\checkmark[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]D=2.c_{11}+1.c_{21}\\
2.(-1)^2\begin{vmatrix}
1 &0 &0 \\
1&m-1 &2 \\
0 &1 &-1 \\
\end{vmatrix}=2.(-m+1-2) = -2m-2\\
1.(-1)^3\begin{vmatrix}
m & 0 &0 \\
1&m-1 &2 \\
0&1 &-1 \\
\end{vmatrix}=-1(-m^2+m-2m) = m^2-m+2m\\
\therefore D=m^2-m+2m-2m-2 = \boxed{m^2-m-2}\color{green}\checkmark[/tex3]

[petras]

brunocbbc,
Sua matriz está errada..

[brunocbbc]

Seria o correto sem os números após o símbolo de igualdade? Assim,
[tex3]\begin{pmatrix}
2 &m & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
1 & m+1 & 2 \\
1 & -1 & 0 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
2 &m & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
1 & m+1 & 2 \\
1 & -1 & 0 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

?

[brunocbbc]

Ahhhh entendi, cada incognita deve ter sua coluna exclusiva seria isso?
Sendo a matriz correta essa,
[tex3]\begin{pmatrix}
2 &m &0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & m+1& 2 \\
0 & 0 & 1 & -1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
2 &m &0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & m+1& 2 \\
0 & 0 & 1 & -1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]