Pré-Vestibular ⇒ (UEPG - PR) Função Exponencial Tópico resolvido

[Jhonatan]

Em relação à função de R em R definida por f(x) = (3^x) + 2, assinale o que for correto.

a) f(f(0)) = 29

b) Sua imagem é o conjunto ]2, + ∞[

c) f(a + b) = f(a) + f(b)

d) A função é decrescente

e) f(x + 1) - f(x) = 2.3^x

R: a), b), e)

Pessoal, poderiam me ajudar na questão ? Obrigado.

ps: é f(x) = 3^x e não 3^(x+2)

[AndreBRasera]

Eaí?

Vamos começar:

A)[tex3]f(f(0))\rightarrow f(0)=3^0+2=1+2=3[/tex3]

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[tex3]f(f(0))\rightarrow f(0)=3^0+2=1+2=3[/tex3]

[tex3]f(f(0))=f(3)=3^3+2=27+2=29[/tex3]

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[tex3]f(f(0))=f(3)=3^3+2=27+2=29[/tex3]

, portanto, A é verdadeira.

B)Imagem será o alcance da função no eixo y. Para essa alternativa, é importante lembrar que em [tex3]\mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]\mathbb{R}[/tex3]

não é possível elevar um número a alguma potência e ter como resultado um número negativo ou até mesmo zero; no limite da função, o máximo que a potência alcança é "tender a zero". Se o menor número possível para uma potência é "tender a 0", então 0 + 2 será sempre maior que dois, até o mais infinito, por isso a [tex3]Im=]2,+\infty [[/tex3]

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[tex3]Im=]2,+\infty [[/tex3]

, portanto, a B é verdadeira.

C)Essa é fácil de provar (se fosse verdade, aí seria difícil!). Chute qualquer valor para a e b, por exemplo, 0 e 1.

[tex3]f(0+1)=f(0)+f(1)\rightarrow f(1)=f(0)+f(1)\rightarrow f(0)=0[/tex3]

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[tex3]f(0+1)=f(0)+f(1)\rightarrow f(1)=f(0)+f(1)\rightarrow f(0)=0[/tex3]

; se já sabemos, lá de cima, que f(0) valerá 3, então já podemos considerar a C falsa.

D)Entre as funções exponenciais, as que possuem base maior que 0 e menor que 1 são decrescentes, e aquelas cuja base é maior do que 1 são crescentes, e, se 3 > 1, nossa função é crescente, portanto, é falsa.

E)[tex3]f(x+1)-f(x)=2\cdot 3^x[/tex3]

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[tex3]f(x+1)-f(x)=2\cdot 3^x[/tex3]

(vamos substituir pelas leis das funções) [tex3]3^{x+1}+2-(3^x+2)= 2\cdot 3^x\rightarrow 3\cdot 3^x-3^x+2-2\rightarrow 3\cdot 3^x-3^x=2\cdot 3^x\rightarrow 2\cdot 3^x=2\cdot 3^x[/tex3]

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[tex3]3^{x+1}+2-(3^x+2)= 2\cdot 3^x\rightarrow 3\cdot 3^x-3^x+2-2\rightarrow 3\cdot 3^x-3^x=2\cdot 3^x\rightarrow 2\cdot 3^x=2\cdot 3^x[/tex3]

, portanto, a E é verdadeira.

Espero ter ajudado!

[Jhonatan]

Muito obrigado pela ajuda, amigo. Excelentes explicações!