Pré-Vestibular ⇒ FUVEST (2001) - Polinômio Tópico resolvido

[felipef]

O polinômio x^4 + x² -2x + 6 admite 1+i como raiz, onde i²=-1. O número de raízes desse polinômio é:
a)0 b)1 c)2 d)3 e)4

[fismatpina]

Como os coeficientes do polinômio são reais, se "1+i" é raiz seu conjugado também é raiz. Logo, "1-i" é raiz.

Sejam x1, x2, 1+i e 1-i as raízes do polinômio, das relações de Girard temos:

x1 + x2 + (1+i) + (1-i) = 0 => x1 + x2 = -2 => x2 = -2 - x1

x1.x2.(1+i).(1-i) = 6 => x1.x2 = 3

x1.(-2-x1) = 3 => -x1² - 2x1 - 3 = 0 => x1 + 2x1 + 3 = 0

x1 = -1 [tex3]\pm [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pm [/tex3]

[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

i

x2 = -1 [tex3]\pm \sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pm \sqrt{2}[/tex3]

i

Logo o polinômio possui 4 raízes complexas!

Pesquisando pelo seu enunciado, encontrei que o da prova original solicitava o número de raízes reais do polinômio. Assim, a resposta é a letra A pois não possui raiz real!