Ensino Médio ⇒ Análise Combinatória. Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:19595)]

Em uma prova, um estudante deve escolher 7 de um total de 10 questões. De quantas formas ele pode escolher as questões (mostre os cálculos) se:
a) ele tiver que selecionar pelo menos 4 das 5 primeiras questões.
b) ele não puder selecionar simultaneamente as questões 1 e 10.

Calculei a A da seguinte maneira, mas não sei se está correta...
Possibilidades:
- Escolher exatamente 4 das 5 primeiras perguntas e 3 das 5 últimas.
- Escolher exatamente 5 das 5 primeiras perguntas e 2 das 5 últimas.
[tex3]C5,4 \cdot C5,3 + C5,5\cdot C5,2 = 60[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C5,4 \cdot C5,3 + C5,5\cdot C5,2 = 60[/tex3]

Alguém pode corrigir, ou verificar se está correta?!

[snooplammer]

Não sei se está certo, até peço para que os outros membros vejam. Mas acredito que seja assim

a)
[tex3]C_{4}^{5}\cdot C_{3}^{6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_{4}^{5}\cdot C_{3}^{6}[/tex3]

[tex3]C_{4}^{5}=10[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_{4}^{5}=10[/tex3]

[tex3]C_{3}^{6}=20[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_{3}^{6}=20[/tex3]

[tex3]20\cdot 10=200[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]20\cdot 10=200[/tex3]

[snooplammer]

b) Penso que seria assim:

Tenho 10 questões, posso escolher 7. Não posso escolher simultaneamente 1 e 10

Se eu escolher 1 não escolho 10
Se eu escolher 10 não escolho 1
Não escolho nem uma nem outra

[tex3]C_{7}^{9}\cdot C_{7}^{9}\cdot C_{7}^{8}=10368[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C_{7}^{9}\cdot C_{7}^{9}\cdot C_{7}^{8}=10368[/tex3]

[csmarcelo]

A raciocínio e a resposta do Summer estão corretos.

[csmarcelo]

snooplammer, como chegou em [tex3]C^5_4\cdot C^6_3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C^5_4\cdot C^6_3[/tex3]

?

[csmarcelo]

Na letra "b", basta calcularmos a diferença entre o total de combinações e aquelas onde aparecem ambas as questões.

total de combinações: [tex3]C^{10}_7=120[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C^{10}_7=120[/tex3]

total de combinações onde aparecem, simultaneamente, as questões 1 e 10: [tex3]C^8_5=56[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C^8_5=56[/tex3]

[tex3]120-56=64[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]120-56=64[/tex3]

[snooplammer]

snooplammer, como chegou em [tex3]C^5_4\cdot C^6_3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C^5_4\cdot C^6_3[/tex3]

?

Deveria escolher no mínimo 4 de 5 sendo que poderia ter a 5 também.

Incluindo a 5 que pode ser escolhida também sobraram 6 questões, onde deveria ser escolhido 3 questões

[snooplammer]

Na letra "b", basta calcularmos a diferença entre o total de combinações e aquelas onde aparecem ambas as questões.

total de combinações: [tex3]C^10_7=120[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C^10_7=120[/tex3]

total de combinações onde aparecem, simultaneamente, as questões 1 e 10: [tex3]C^8_5=56[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C^8_5=56[/tex3]

[tex3]120-56=64[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]120-56=64[/tex3]

Nessa b eu passei longe, mas na a) não entendi onde eu errei

[csmarcelo]

snooplammer, como chegou em [tex3]C^5_4\cdot C^6_3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C^5_4\cdot C^6_3[/tex3]

?

Deveria escolher no mínimo 4 de 5 sendo que poderia ter a 5 também.

Incluindo a 5 que pode ser escolhida também sobraram 6 questões, onde deveria ser escolhido 3 questões

[tex3]C^5_4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C^5_4[/tex3]

: aqui você escolheu quatro livros dos cinco primeiros. Ok.

[tex3]C^6_3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C^6_3[/tex3]

: aqui você está combinando os cinco restantes com mais um dos cinco primeiros, mas repare que você pode escolher algum dos cinco primeiros que já tenha sido escolhido na combinação anterior. Não há nada que impeça isso. Dessa forma, você terá combinações como, por exemplo: [tex3]{\color{red}ABCDE}{\color{blue}BHI}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{\color{red}ABCDE}{\color{blue}BHI}[/tex3]

, onde cada letra representa um dos livros.