A matriz [tex3]A=\begin{pmatrix}
-2 & 1 & -3 \\
1 & 1 & 1 \\
4 & -1 & 5 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
é diagonalizável? Se sim, encontre uma matriz invertível [tex3]P[/tex3]
e uma matriz diagonal [tex3]D[/tex3]
tais que [tex3]A = P DP^{-1}[/tex3]
. Se não, explique como você chegou para esta conclusão.
Ensino Superior ⇒ Diagonalizaçao Matriz 3x3
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gabrielgmei
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Out 2017
27
12:59
Diagonalizaçao Matriz 3x3
Editado pela última vez por caju em 27 Out 2017, 13:28, em um total de 1 vez.
Razão: Colocar TeX nas expressões matemáticas.
Razão: Colocar TeX nas expressões matemáticas.
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lorramrj
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Fev 2018
06
14:47
Re: Diagonalizaçao Matriz 3x3
Primeiro vamos determinar os autovalores de A:
[tex3]Av = \lambda v \rightarrow Av - \lambda v=0 \rightarrow \boxed {(A-\lambda I).v=0}[/tex3] sistema homogêneo com [tex3]v \neq 0[/tex3]
Sendo a solução desse sistema o núcleo: [tex3]M = Nuc(A-\lambda I)[/tex3] os espaços-soluções desse sistema é chamado de Autoespaço([tex3]A_n[/tex3] ).
Como [tex3]v\neq 0[/tex3] então a solução não pode ser o vetor nulo: [tex3]Nuc(A-\lambda I) \neq 0 [/tex3] para isso [tex3]det(A-\lambda I)=0\rightarrow det(M)=0[/tex3]
Temos, então a equação:
[tex3]M = \begin{pmatrix}
-2 & 1 & -3 \\
1 & 1 & 1 \\
4 & -1 & 5 \\
\end{pmatrix} - \lambda\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-2-\lambda & 1 & -3 \\
1 & 1-\lambda & 1 \\
4 & -1 & 5-\lambda \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Portanto:
[tex3]det(M) = 0 \rightarrow det\begin{pmatrix}
-2-\lambda & 1 & -3 \\
1 & 1-\lambda & 1 \\
4 & -1 & 5-\lambda \\
\end{pmatrix}=0[/tex3]
Ficamos com: [tex3]-4\lambda ^3 + 4\lambda ^2 - 5\lambda + 2 = 0[/tex3] resolvemos e achamos:
[tex3]\lambda _1 = 1[/tex3] (multiplicidade 2)
[tex3]\lambda _2 = 2 [/tex3]
Achando os autovetores do Autoespaço relativo ao autovetor [tex3]\lambda _1 = 1[/tex3]
[tex3]Av = (1).v \rightarrow [/tex3] escalonamos a matriz para achar o espaço gerado: [tex3]\begin{pmatrix}
-2-1 & 1 & -3 & | & 0 \\
1 & 1-1 & 1 & | & 0\\
4 & -1 & 5-1 & | & 0 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-3 & 1 & -3 & | & 0 \\
1 & 0 & 1 & | & 0\\
4 & -1 & 4 & | & 0 \\
\end{pmatrix} [/tex3]
Achamos: [tex3]A_1 = span\{ (-1,0,1) \}[/tex3] como o autovalor [tex3]\lambda _1 = 1[/tex3] tem multiplicidade 2 e [tex3]dim(A_1)=1[/tex3]
então A não é diagonalizável. Para ser diagonalizável a dimensão do Autoespaço deve ter dimensão igual a multiplicidade do autovalor associado, e nesse caso isso não ocorreu!
Então, nesse caso nem preciso calcular o autoespaço [tex3]A_2[/tex3] associado ao autovalor [tex3]\lambda _ 2=2[/tex3] .
[tex3]Av = \lambda v \rightarrow Av - \lambda v=0 \rightarrow \boxed {(A-\lambda I).v=0}[/tex3] sistema homogêneo com [tex3]v \neq 0[/tex3]
Sendo a solução desse sistema o núcleo: [tex3]M = Nuc(A-\lambda I)[/tex3] os espaços-soluções desse sistema é chamado de Autoespaço([tex3]A_n[/tex3] ).
Como [tex3]v\neq 0[/tex3] então a solução não pode ser o vetor nulo: [tex3]Nuc(A-\lambda I) \neq 0 [/tex3] para isso [tex3]det(A-\lambda I)=0\rightarrow det(M)=0[/tex3]
Temos, então a equação:
[tex3]M = \begin{pmatrix}
-2 & 1 & -3 \\
1 & 1 & 1 \\
4 & -1 & 5 \\
\end{pmatrix} - \lambda\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-2-\lambda & 1 & -3 \\
1 & 1-\lambda & 1 \\
4 & -1 & 5-\lambda \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Portanto:
[tex3]det(M) = 0 \rightarrow det\begin{pmatrix}
-2-\lambda & 1 & -3 \\
1 & 1-\lambda & 1 \\
4 & -1 & 5-\lambda \\
\end{pmatrix}=0[/tex3]
Ficamos com: [tex3]-4\lambda ^3 + 4\lambda ^2 - 5\lambda + 2 = 0[/tex3] resolvemos e achamos:
[tex3]\lambda _1 = 1[/tex3] (multiplicidade 2)
[tex3]\lambda _2 = 2 [/tex3]
Achando os autovetores do Autoespaço relativo ao autovetor [tex3]\lambda _1 = 1[/tex3]
[tex3]Av = (1).v \rightarrow [/tex3] escalonamos a matriz para achar o espaço gerado: [tex3]\begin{pmatrix}
-2-1 & 1 & -3 & | & 0 \\
1 & 1-1 & 1 & | & 0\\
4 & -1 & 5-1 & | & 0 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-3 & 1 & -3 & | & 0 \\
1 & 0 & 1 & | & 0\\
4 & -1 & 4 & | & 0 \\
\end{pmatrix} [/tex3]
Achamos: [tex3]A_1 = span\{ (-1,0,1) \}[/tex3] como o autovalor [tex3]\lambda _1 = 1[/tex3] tem multiplicidade 2 e [tex3]dim(A_1)=1[/tex3]
então A não é diagonalizável. Para ser diagonalizável a dimensão do Autoespaço deve ter dimensão igual a multiplicidade do autovalor associado, e nesse caso isso não ocorreu!
Então, nesse caso nem preciso calcular o autoespaço [tex3]A_2[/tex3] associado ao autovalor [tex3]\lambda _ 2=2[/tex3] .
Editado pela última vez por lorramrj em 06 Fev 2018, 19:43, em um total de 2 vezes.
Engenharia da Computação | PUC-RIO
O que sabemos não é muito. O que não sabemos é imenso.”
:-> [tex3]\textbf{S. P. Laplace}[/tex3]
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