Ensino Médio(VIÇOSA) Inequação

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Carolinethz
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Out 2017 09 20:53

(VIÇOSA) Inequação

Mensagem não lida por Carolinethz » Seg 09 Out, 2017 20:53

(VIÇOSA) - Resolvendo a inequação [tex3](x^2 + 3x - 7)\cdot (3x - 5)\cdot (x^2 - 2x + 3) < 0[/tex3] , um aluno cancela o fator [tex3](x^2 - 2x + 3)[/tex3] , transformando-a em [tex3](x^2 + 3x - 7)\cdot (3x - 5) < 0[/tex3] . Pode-se concluir que:

a) incorreto porque não houve inversão do sentido da desigualdade.
b) incorreto porque nunca podemos cancelar um termo que contenha a incógnita.
c) incorreta porque porque foi cancelado um trinômio do segundo grau.
d) correto porque o termo independente do trinômio cancelado é 3.
e) correto, pois [tex3](x^2-2x+3) > 0,\,\forall x \in R[/tex3]
Resposta

Letra E

Última edição: caju (Seg 22 Jan, 2018 17:57). Total de 1 vez.
Razão: Arrumar título.



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jomatlove
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Out 2017 09 21:17

Re: (VIÇOSA) Inequação

Mensagem não lida por jomatlove » Seg 09 Out, 2017 21:17

Resolução:
Numa inequação,quando há uma expressão elevado a um expoente par ou uma expressão é sempre positiva para qualquer valor da variável,podemos cancela tais expressões sem que haja alteração em seu conjunto solução.

:)



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Out 2017 09 21:47

Re: (VIÇOSA) Inequação

Mensagem não lida por leomaxwell » Seg 09 Out, 2017 21:47

Olá,
Quando [tex3]\Delta <0[/tex3] , a equação [tex3]ax^2+bx+c=0[/tex3] terá o mesmo sinal de [tex3]a[/tex3] , isto é, se [tex3]\Delta <0[/tex3] e [tex3]a<0[/tex3] , então [tex3]ax^2+bx+c>0[/tex3] ou se [tex3]\Delta <0[/tex3] e [tex3]a>0[/tex3] , então [tex3]ax^2+bx+c>0[/tex3]
Sabendo disso, vamos analisar o trinômio [tex3]x^2-2x+3[/tex3]
[tex3]\Delta =(-2)^2-4\cdot1\cdot3=4-12=-8[/tex3] , então [tex3]\Delta <0[/tex3]
Como o coeficiente [tex3]a=1[/tex3] , temos que o trinômio é sempre positivo, qualquer que seja x
Teorema:
Seja o trinômio [tex3]y=ax^2+bx+c[/tex3] , onde [tex3]a[/tex3] , [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] são reais, com [tex3]a\neq 0[/tex3] e [tex3]\Delta <0[/tex3] . Neste caso [tex3]y[/tex3] terá sempre o mesmo sinal de [tex3]a[/tex3]
Demonstração:
[tex3]y=ax^2+bx+c[/tex3]
[tex3]y=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)[/tex3]
[tex3]y=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{4a}\right)[/tex3]
[tex3]y=a \left[\left(x^2+\frac{b}{a}+\frac{b^2}{4a}\right) +\left(\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a}\right)\right][/tex3]
Mas, [tex3]x^2+\frac{b}{a}+\frac{b^2}{4a}=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2[/tex3] e [tex3]\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a^2}[/tex3] , então:
[tex3]y=a \left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 +\left(\frac{4ac-b^2}{4a^2}\right)\right][/tex3]
[tex3]y=a \left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\left(\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)\right][/tex3]
[tex3]y=a \left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{\Delta }{4a^2}\right][/tex3]
Podemos então escrever [tex3]\frac{y}{a}=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{\Delta }{4a^2}[/tex3]
Como estamos supondo [tex3]\Delta <0[/tex3] , devemos ter[tex3]\frac{-\Delta }{4a^2}>0[/tex3] e, como consequência, para qualquer valor real de [tex3]x[/tex3] , teremos [tex3]\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{\Delta }{4a^2}>0[/tex3] . Isto significa que [tex3]\frac{y}{a}[/tex3] será sempre positivo e, portanto, y e a tem o mesmo sinal
Última edição: leomaxwell (Seg 09 Out, 2017 21:49). Total de 1 vez.


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Re: (VIÇOSA) Inequação

Mensagem não lida por Carolinethz » Seg 22 Jan, 2018 16:42

leomaxwell escreveu:
Seg 09 Out, 2017 21:47
Demonstração:
[tex3]y=ax^2+bx+c[/tex3]
[tex3]y=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)[/tex3]
[tex3]y=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{4a}\right)[/tex3]
[tex3]y=a \left[\left(x^2+\frac{b}{a}+\frac{b^2}{4a}\right) +\left(\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a}\right)\right][/tex3]
Mas, [tex3]x^2+\frac{b}{a}+\frac{b^2}{4a}=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2[/tex3] e [tex3]\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a^2}[/tex3] , então:
[tex3]y=a \left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 +\left(\frac{4ac-b^2}{4a^2}\right)\right][/tex3]
[tex3]y=a \left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\left(\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)\right][/tex3]
[tex3]y=a \left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{\Delta }{4a^2}\right][/tex3]
Podemos então escrever [tex3]\frac{y}{a}=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{\Delta }{4a^2}[/tex3]
Como estamos supondo [tex3]\Delta <0[/tex3] , devemos ter[tex3]\frac{-\Delta }{4a^2}>0[/tex3] e, como consequência, para qualquer valor real de [tex3]x[/tex3] , teremos [tex3]\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{\Delta }{4a^2}>0[/tex3] . Isto significa que [tex3]\frac{y}{a}[/tex3] será sempre positivo e, portanto, y e a tem o mesmo sinal
Primeiramente, desculpa a demora, fiquei um tempo afastada dos livros.
Retomei agora e, sinceramente, me perdi muito nessa demonstração :(



Ressuscitado pela última vez por Carolinethz em Seg 22 Jan, 2018 16:42.



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