Ensino Médio ⇒ Domínio de uma Inequação Irracional Tópico resolvido

[MatheusBorges]

[tex3]2.\sqrt{x^{2}-10x+9}\geq -x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2.\sqrt{x^{2}-10x+9}\geq -x[/tex3]

Resposta

---

[tex3]x\leq 1\vee x\geq 9[/tex3]

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[tex3]x\leq 1\vee x\geq 9[/tex3]

[leomaxwell]

MafIl10, bom dia
Pela condição de existência de uma raíz de índice par, temos que ter [tex3]x^2-10x+9\geq 0[/tex3]

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[tex3]x^2-10x+9\geq 0[/tex3]

Por soma e produto, é fácil concluir que as raízes de [tex3]x^2-10x+9= 0[/tex3]

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[tex3]x^2-10x+9= 0[/tex3]

são [tex3]x'=1[/tex3]

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[tex3]x'=1[/tex3]

e [tex3]x''=9[/tex3]

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[tex3]x''=9[/tex3]

. Fazendo a análise do sinal, teremos que [tex3]x^2-10x+9\geq 0 \Longleftrightarrow x\leq 1\vee x\geq 9[/tex3]

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[tex3]x^2-10x+9\geq 0 \Longleftrightarrow x\leq 1\vee x\geq 9[/tex3]

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Portanto o domínio D é [tex3]D=x\leq 1\vee x\geq 9[/tex3]

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[tex3]D=x\leq 1\vee x\geq 9[/tex3]

[MatheusBorges]

Pode ser que fazendo direto esteja certo, mas nesse livro Léo o Iezzi traz assim:

[tex3]\sqrt[]{f(x)}\geq g(x)\rightarrow f(x)\geq 0\wedge g(x)<0\vee f(x)>[g(x)]^{2}\wedge g(x)\geq 0[/tex3]

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[tex3]\sqrt[]{f(x)}\geq g(x)\rightarrow f(x)\geq 0\wedge g(x)<0\vee f(x)>[g(x)]^{2}\wedge g(x)\geq 0[/tex3]

O que é intuito o por que desse processo
Desse modo que você resolveu, deu resultado certo certo mas não é somente assim.

1 parte: [tex3]f(x)\geq 0\wedge g(x)<0\rightarrow x^{2}-10x+9\geq 0\wedge -x<0[/tex3]

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[tex3]f(x)\geq 0\wedge g(x)<0\rightarrow x^{2}-10x+9\geq 0\wedge -x<0[/tex3]

fazendo a resolução encontra-se: [tex3]x>0 \cap x\leq 1\vee x\geq 9\rightarrow [/tex3]

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[tex3]x>0 \cap x\leq 1\vee x\geq 9\rightarrow [/tex3]

0<x [tex3]\leq 1\vee x\geq 9 [/tex3]

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[tex3]\leq 1\vee x\geq 9 [/tex3]

e tem a 2 parte
quando [tex3]f(x)>[g(x)]^{2}\wedge g(x)\geq 0[/tex3]

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[tex3]f(x)>[g(x)]^{2}\wedge g(x)\geq 0[/tex3]

o problema é o seguinte até consegui, mas no manual do professor, ele faz desse jeito

[tex3]x^{2}-10x+9\geq x^{2}\wedge -x\geq 0[/tex3]

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[tex3]x^{2}-10x+9\geq x^{2}\wedge -x\geq 0[/tex3]

[tex3]-10x+9\geq 0\rightarrow x\geq \frac{9}{10}[/tex3]

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[tex3]-10x+9\geq 0\rightarrow x\geq \frac{9}{10}[/tex3]

[tex3]-x\geq 0\rightarrow x\leq 0[/tex3]

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[tex3]-x\geq 0\rightarrow x\leq 0[/tex3]

[tex3]x\leq 0\cap x\geq \frac{9}{10}\rightarrow x\leq 0 [/tex3]

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[tex3]x\leq 0\cap x\geq \frac{9}{10}\rightarrow x\leq 0 [/tex3]

fazendo a união da 1 parte com a 2 parte da o que você disse,

Agora por que na resolução o FATOR 2 foi ignorado? É pelo fato de ele ser positivo e não alterar a desigualdade?

[fismatpina]

Inequações exigem uma atenção especial, principalmente antes de fazer operações como elevar ao quadrado é necessário tomar cuidado com os sinais para não acabar "esquecendo" de algumas soluções. Nesse caso a condição de existência acabou coincidindo com a resposta final, porém isso não acontece sempre e analisar os casos é sempre necessário!
(Obs: em linguagem matemática LE e LD são o lado esquerdo e o lado direito da inequação respectivamente)

IMG_8222.JPG (195.4 KiB) Exibido 2708 vezes

Aí fazendo a união do caso 1 e o 2 aparece a resposta. Só não fiz pois acabou o espaço. Qualquer dúvida pergunte!