Resposta
R= 9m e 12m
Ensino Médio ⇒ Geometria plana Tópico resolvido
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Set 2017
26
18:12
Geometria plana
Num triângulo, a bissetriz do ângulo reto determina sobre o lado oposto segmentos proporcionais a 3 e 4. Sabendo que a hipotenusa mede 15m, calcule os catetos.
R= 9m e 12m
R= 9m e 12m
Última edição: caju (Sex 29 Set, 2017 10:02). Total de 1 vez.
Razão: Colocar spoiler na resposta.
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jomatlove 
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Set 2017
26
18:38
Re: Geometria plana
Resoluçao:
Teorema de Pitagoras:
[tex3]b^{2}+c^{2}=a^{2}[/tex3] (1)
[tex3]b^{2}+c^{2}=15^{2}=225[/tex3]
Teorema das bissetrizes:
[tex3]\frac{b}{c}=\frac{3}{4}\rightarrow b=\frac{3}{4}c[/tex3]
Substituindo em (1):
[tex3](\frac{3}{4}c)^{2}+c^{2}=225[/tex3]
[tex3]\frac{9}{16}c^{2}+c^{2}=225[/tex3]
[tex3]9c^{2}+16c^{2}=225.16[/tex3]
[tex3]25c^{2}=3600[/tex3]
[tex3]c^{2}=\frac{3600}{25}[/tex3]
[tex3]c=\frac{60}{5}=12[/tex3]
[tex3]b=\frac{3}{4}c=\frac{3}{4} .12=3.3=9[/tex3]
[tex3]\therefore b=9,c=12[/tex3]
Teorema de Pitagoras:
[tex3]b^{2}+c^{2}=a^{2}[/tex3] (1)
[tex3]b^{2}+c^{2}=15^{2}=225[/tex3]
Teorema das bissetrizes:
[tex3]\frac{b}{c}=\frac{3}{4}\rightarrow b=\frac{3}{4}c[/tex3]
Substituindo em (1):
[tex3](\frac{3}{4}c)^{2}+c^{2}=225[/tex3]
[tex3]\frac{9}{16}c^{2}+c^{2}=225[/tex3]
[tex3]9c^{2}+16c^{2}=225.16[/tex3]
[tex3]25c^{2}=3600[/tex3]
[tex3]c^{2}=\frac{3600}{25}[/tex3]
[tex3]c=\frac{60}{5}=12[/tex3]
[tex3]b=\frac{3}{4}c=\frac{3}{4} .12=3.3=9[/tex3]
[tex3]\therefore b=9,c=12[/tex3]
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knowledge(Albert Einstein)
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joaopcarv 
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Set 2017
26
19:24
Re: Geometria plana
Do anexo :
O triângulo [tex3]\Delta ABC[/tex3] é retângulo em [tex3]\widehat{B}[/tex3] . A bissetriz [tex3]AX[/tex3] está desenhada e corta o ângulo reto em [tex3]2[/tex3] : [tex3]45^\circ[/tex3] e [tex3]45^\circ[/tex3] .
Além disso, [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3] são complementares, ou seja [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]\sen(\alpha) \ = \ \cos (\beta)[/tex3] e [tex3]\sen(\beta) \ = \ \cos (\alpha)[/tex3]
[tex3]BC^2 \ = \ AB^2 \ + \ AC^2[/tex3]
[tex3]BX[/tex3] e [tex3]XC[/tex3] compõem a hipotenusa [tex3]BC \ = \ 15 \ m[/tex3] :
[tex3]BX \ + \ XC \ = \ 15[/tex3]
Do enunciado :
[tex3]\frac{BX}{XC} \ = \ \frac{3}{4}[/tex3]
Lei do Seno em [tex3]\Delta ABX[/tex3] :
[tex3]\frac{\sen(45^\circ)}{BX} \ = \ \frac{\sen(\alpha)}{AX}[/tex3]
[tex3]\sen(45^\circ) \ = \ \frac{\sen(\alpha) \ \cdot \ BX}{AX}[/tex3]
Lei do Seno em [tex3]\Delta ACX[/tex3] :
[tex3]\frac{\sen(45^\circ)}{CX} \ = \ \frac{\sen(\beta)}{AX}[/tex3]
[tex3]\sen(45^\circ) \ = \ \frac{\sen(\beta) \ \cdot \ CX}{AX}[/tex3]
Logo : [tex3]\sen(45^\circ) \ = \ \sen(45^\circ)[/tex3]
[tex3]\frac{\sen(\alpha) \ \cdot \ BX}{\cancel{AX}} \ = \frac{\sen(\beta) \ \cdot \ CX}{\cancel{AX}}[/tex3]
[tex3]\sen(\alpha) \ \cdot \ BX \ = \ \sen(\beta) \ \cdot \ CX[/tex3]
[tex3]\sen(\alpha) \ \cdot \ \cancelto{\frac{3}{4}}{\frac{BX}{CX}} \ = \ \sen(\beta)[/tex3]
[tex3]\frac{3}{4} \ \cdot \ \sen(\alpha) \ = \ \sen(\beta) \ \rightarrow \ \sen(\beta) \ = \ \cos (\alpha)[/tex3]
[tex3]\frac{3}{4} \ \cdot \ \sen(\alpha) \ = \ \cos (\alpha)[/tex3]
[tex3]\sen(\alpha)^2 \ + \ \cos (\alpha)^2 \ = \ 1[/tex3]
[tex3]\sen(\alpha)^2 \ + \ \[\frac{3}{4} \ \cdot \ \sen(\alpha)\]^2 \ = \ 1[/tex3]
[tex3]\frac{16}{16} \ \cdot \ \sen(\alpha)^2 \ + \ \frac{9}{16} \ \cdot \ \sen(\alpha)^2 = \ 1 [/tex3]
[tex3]\frac{25}{16} \ \cdot \ \sen(\alpha)^2 \ = \ 1 [/tex3]
[tex3]\sen(\alpha) \ = \ \sqrt{\frac{16}{25}} [/tex3]
[tex3]\sen(\alpha) \ = \ + \frac{4}{5} [/tex3] e [tex3]\cos (\alpha) \ = \ + \frac{3}{5} \ (\alpha \ < \ 90^\circ)[/tex3]
Por fim, [tex3]\sen(\alpha) \ = \ \frac{AC}{BC}[/tex3]
[tex3]\frac{4}{5} \ = \ \frac{AC}{15} \ \rightarrow \ \boxed{\boxed{AC \ = \ 12 \ m}}[/tex3]
[tex3]\cos (\alpha) \ = \ \frac{AB}{BC}[/tex3]
[tex3]\frac{3}{5} \ = \ \frac{AB}{15} \ \rightarrow \ \boxed{\boxed{AB \ = \ 9 \ m}}[/tex3]
O triângulo [tex3]\Delta ABC[/tex3] é retângulo em [tex3]\widehat{B}[/tex3] . A bissetriz [tex3]AX[/tex3] está desenhada e corta o ângulo reto em [tex3]2[/tex3] : [tex3]45^\circ[/tex3] e [tex3]45^\circ[/tex3] .
Além disso, [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3] são complementares, ou seja [tex3]\rightarrow[/tex3]
[tex3]\sen(\alpha) \ = \ \cos (\beta)[/tex3] e [tex3]\sen(\beta) \ = \ \cos (\alpha)[/tex3]
[tex3]BC^2 \ = \ AB^2 \ + \ AC^2[/tex3]
[tex3]BX[/tex3] e [tex3]XC[/tex3] compõem a hipotenusa [tex3]BC \ = \ 15 \ m[/tex3] :
[tex3]BX \ + \ XC \ = \ 15[/tex3]
Do enunciado :
[tex3]\frac{BX}{XC} \ = \ \frac{3}{4}[/tex3]
Lei do Seno em [tex3]\Delta ABX[/tex3] :
[tex3]\frac{\sen(45^\circ)}{BX} \ = \ \frac{\sen(\alpha)}{AX}[/tex3]
[tex3]\sen(45^\circ) \ = \ \frac{\sen(\alpha) \ \cdot \ BX}{AX}[/tex3]
Lei do Seno em [tex3]\Delta ACX[/tex3] :
[tex3]\frac{\sen(45^\circ)}{CX} \ = \ \frac{\sen(\beta)}{AX}[/tex3]
[tex3]\sen(45^\circ) \ = \ \frac{\sen(\beta) \ \cdot \ CX}{AX}[/tex3]
Logo : [tex3]\sen(45^\circ) \ = \ \sen(45^\circ)[/tex3]
[tex3]\frac{\sen(\alpha) \ \cdot \ BX}{\cancel{AX}} \ = \frac{\sen(\beta) \ \cdot \ CX}{\cancel{AX}}[/tex3]
[tex3]\sen(\alpha) \ \cdot \ BX \ = \ \sen(\beta) \ \cdot \ CX[/tex3]
[tex3]\sen(\alpha) \ \cdot \ \cancelto{\frac{3}{4}}{\frac{BX}{CX}} \ = \ \sen(\beta)[/tex3]
[tex3]\frac{3}{4} \ \cdot \ \sen(\alpha) \ = \ \sen(\beta) \ \rightarrow \ \sen(\beta) \ = \ \cos (\alpha)[/tex3]
[tex3]\frac{3}{4} \ \cdot \ \sen(\alpha) \ = \ \cos (\alpha)[/tex3]
[tex3]\sen(\alpha)^2 \ + \ \cos (\alpha)^2 \ = \ 1[/tex3]
[tex3]\sen(\alpha)^2 \ + \ \[\frac{3}{4} \ \cdot \ \sen(\alpha)\]^2 \ = \ 1[/tex3]
[tex3]\frac{16}{16} \ \cdot \ \sen(\alpha)^2 \ + \ \frac{9}{16} \ \cdot \ \sen(\alpha)^2 = \ 1 [/tex3]
[tex3]\frac{25}{16} \ \cdot \ \sen(\alpha)^2 \ = \ 1 [/tex3]
[tex3]\sen(\alpha) \ = \ \sqrt{\frac{16}{25}} [/tex3]
[tex3]\sen(\alpha) \ = \ + \frac{4}{5} [/tex3] e [tex3]\cos (\alpha) \ = \ + \frac{3}{5} \ (\alpha \ < \ 90^\circ)[/tex3]
Por fim, [tex3]\sen(\alpha) \ = \ \frac{AC}{BC}[/tex3]
[tex3]\frac{4}{5} \ = \ \frac{AC}{15} \ \rightarrow \ \boxed{\boxed{AC \ = \ 12 \ m}}[/tex3]
[tex3]\cos (\alpha) \ = \ \frac{AB}{BC}[/tex3]
[tex3]\frac{3}{5} \ = \ \frac{AB}{15} \ \rightarrow \ \boxed{\boxed{AB \ = \ 9 \ m}}[/tex3]
- Anexos
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That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
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Set 2017
26
19:25
Re: Geometria plana
Não tinha visto que vc já respondeu... fico 1 ano para escrever o latexjomatlove escreveu: ↑Ter 26 Set, 2017 18:38Resoluçao:
Teorema de Pitagoras:
[tex3]b^{2}+c^{2}=a^{2}[/tex3] (1)
[tex3]b^{2}+c^{2}=15^{2}=225[/tex3]
Teorema das bissetrizes:
[tex3]\frac{b}{c}=\frac{3}{4}\rightarrow b=\frac{3}{4}c[/tex3]
Substituindo em (1):
[tex3](\frac{3}{4}c)^{2}+c^{2}=225[/tex3]
[tex3]\frac{9}{16}c^{2}+c^{2}=225[/tex3]
[tex3]9c^{2}+16c^{2}=225.16[/tex3]
[tex3]25c^{2}=3600[/tex3]
[tex3]c^{2}=\frac{3600}{25}[/tex3]
[tex3]c=\frac{60}{5}=12[/tex3]
[tex3]b=\frac{3}{4}c=\frac{3}{4} .12=3.3=9[/tex3]
[tex3]\therefore b=9,c=12[/tex3]
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Set 2017
26
22:54
Re: Geometria plana
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