Ensino Superior ⇒ Resolva a matriz Tópico resolvido
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Set 2017
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12:39
Resolva a matriz
Matriz [tex3]y[/tex3]
[tex3]\begin{pmatrix}
x & 1 & 2 & 0 \\
0 & x & 1 & 1 \\
0 & 0 & x & 1 \\
0 & 0 & 0 & x \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Como eu posso calcular os valores reias de [tex3]x[/tex3] para [tex3]y^{2}-2y+1=0[/tex3]
[tex3]\begin{pmatrix}
x & 1 & 2 & 0 \\
0 & x & 1 & 1 \\
0 & 0 & x & 1 \\
0 & 0 & 0 & x \\
\end{pmatrix}[/tex3]
Como eu posso calcular os valores reias de [tex3]x[/tex3] para [tex3]y^{2}-2y+1=0[/tex3]
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Set 2017
22
14:07
Re: Resolva a matriz
Olá,
Vamos encontrar qual(is) valores de [tex3]y[/tex3] satisfazem [tex3]y^{2}-2y+1=0[/tex3] . Aplicando Báskara, temos:
[tex3]\Delta =(-2)^2-4\cdot1\cdot1[/tex3]
[tex3]\Delta =4-4=0[/tex3]
[tex3]y=\frac{-(-2)\pm \sqrt{0}}{2}=1[/tex3]
Então o valor do determinante de [tex3]y[/tex3] deve ser [tex3]1[/tex3] , logo:
[tex3]det(y)=\begin{vmatrix}
x & 1 & 2 & 0 \\
0 & x & 1 & 1 \\
0& 0 & x & 1 \\
0 & 0 & 0 & x \\
\end{vmatrix}=1[/tex3]
Aplicando o teorema de laplace, temos:
[tex3]det(y)=a_{11}\cdot A_{11}[/tex3] , onde [tex3]A_{ij} [/tex3] é o cofator do elemento [tex3]a_{ij}[/tex3] com [tex3]A_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot D_{ij}[/tex3]
[tex3]A_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot D_{ij}[/tex3]
[tex3]A_{ij}=(-1)^{1+1}\cdot\begin{vmatrix}
x & 1 & 1 \\
0 & x & 1 \\
0 & 0 & x \\
\end{vmatrix}[/tex3]
Aplicando a regra de Sarrus para o determinante, podemos encontrar que [tex3]\begin{vmatrix}
x & 1 & 1 \\
0 & x & 1 \\
0 & 0 & x \\
\end{vmatrix}=x^3[/tex3] , assim:
[tex3]A_{ij}=(-1)^{1+1}\cdot x^3=x^3[/tex3]
Retomando o determinante...
[tex3]det(y)=a_{11}\cdot A_{11}=1[/tex3]
[tex3]x\cdot x^3=1\rightarrow x^4=1\rightarrow x=\pm 1[/tex3]
Vamos encontrar qual(is) valores de [tex3]y[/tex3] satisfazem [tex3]y^{2}-2y+1=0[/tex3] . Aplicando Báskara, temos:
[tex3]\Delta =(-2)^2-4\cdot1\cdot1[/tex3]
[tex3]\Delta =4-4=0[/tex3]
[tex3]y=\frac{-(-2)\pm \sqrt{0}}{2}=1[/tex3]
Então o valor do determinante de [tex3]y[/tex3] deve ser [tex3]1[/tex3] , logo:
[tex3]det(y)=\begin{vmatrix}
x & 1 & 2 & 0 \\
0 & x & 1 & 1 \\
0& 0 & x & 1 \\
0 & 0 & 0 & x \\
\end{vmatrix}=1[/tex3]
Aplicando o teorema de laplace, temos:
[tex3]det(y)=a_{11}\cdot A_{11}[/tex3] , onde [tex3]A_{ij} [/tex3] é o cofator do elemento [tex3]a_{ij}[/tex3] com [tex3]A_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot D_{ij}[/tex3]
[tex3]A_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot D_{ij}[/tex3]
[tex3]A_{ij}=(-1)^{1+1}\cdot\begin{vmatrix}
x & 1 & 1 \\
0 & x & 1 \\
0 & 0 & x \\
\end{vmatrix}[/tex3]
Aplicando a regra de Sarrus para o determinante, podemos encontrar que [tex3]\begin{vmatrix}
x & 1 & 1 \\
0 & x & 1 \\
0 & 0 & x \\
\end{vmatrix}=x^3[/tex3] , assim:
[tex3]A_{ij}=(-1)^{1+1}\cdot x^3=x^3[/tex3]
Retomando o determinante...
[tex3]det(y)=a_{11}\cdot A_{11}=1[/tex3]
[tex3]x\cdot x^3=1\rightarrow x^4=1\rightarrow x=\pm 1[/tex3]
Última edição: leomaxwell (Sex 22 Set, 2017 14:09). Total de 1 vez.
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22
15:44
Re: Resolva a matriz
Hola leomaxwell.
Respeito a sua solução, mas penso que assim seria mais fácil.
Quando os elementos à esquerda e abaixo da diagonal principal forem nulos, teremos uma matriz triangular superior.
O determinante de uma matriz triangular é dado apenas pelo produto dos elementos da diagonal principal, nesse caso, pela multiplicação, ou seja:
[tex3]x*x*x*x = x^4 [/tex3]
Respeito a sua solução, mas penso que assim seria mais fácil.
Quando os elementos à esquerda e abaixo da diagonal principal forem nulos, teremos uma matriz triangular superior.
O determinante de uma matriz triangular é dado apenas pelo produto dos elementos da diagonal principal, nesse caso, pela multiplicação, ou seja:
[tex3]x*x*x*x = x^4 [/tex3]
Última edição: paulo testoni (Sex 22 Set, 2017 15:45). Total de 1 vez.
Paulo Testoni
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22
16:11
Re: Resolva a matriz
Obrigado, paulo testoni! Realmente é uma resolução bem mais simples. Não conhecia essa propriedade
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