Ensino Superior ⇒ Calulo de matriz Tópico resolvido

[gerlanmatfis]

resolução do determinante dessa matriz A.

[tex3]\begin{pmatrix}
i & 3 & 2 & -i \\
3 & -i & 1 & i \\
2 & 1 & -1 & 0 \\
-1 & i & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
i & 3 & 2 & -i \\
3 & -i & 1 & i \\
2 & 1 & -1 & 0 \\
-1 & i & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

[rippertoru]

O determinante dá 17 + i

Reduza a matriz até sua forma triangular:

Troque a primeira linha pela quarta
[tex3]L_1 \rightarrow L_4 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]L_1 \rightarrow L_4 [/tex3]

[tex3]L_4 \rightarrow L_1 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]L_4 \rightarrow L_1 [/tex3]

Resultando
[tex3]\begin{pmatrix}
i & i & 0 & 1 \\
3 & -i & 1 & i \\
2 & 1 & -1 & 0 \\
i & 3 & 2 & -i \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
i & i & 0 & 1 \\
3 & -i & 1 & i \\
2 & 1 & -1 & 0 \\
i & 3 & 2 & -i \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Faça para a segunda linha da matriz
[tex3]L_2 \rightarrow L_2 + 3iL_1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]L_2 \rightarrow L_2 + 3iL_1[/tex3]

Resultando
[tex3]\begin{pmatrix}
i & i & 0 & 1 \\
0 & -i-3 & 1 & 4i \\
2 & 1 & -1 & 0 \\
i & 3 & 2 & -i \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
i & i & 0 & 1 \\
0 & -i-3 & 1 & 4i \\
2 & 1 & -1 & 0 \\
i & 3 & 2 & -i \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Faça para a terceira linha da matriz
[tex3]L_3 \rightarrow L_3 + 2iL_1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]L_3 \rightarrow L_3 + 2iL_1[/tex3]

Resultando
[tex3]\begin{pmatrix}
i & i & 0 & 1 \\
0 & -i-3 & 1 & 4i \\
0 & -1 & -1 & 2i \\
i & 3 & 2 & -i \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
i & i & 0 & 1 \\
0 & -i-3 & 1 & 4i \\
0 & -1 & -1 & 2i \\
i & 3 & 2 & -i \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Na quarta linha faça
[tex3]L_4 \rightarrow L_4 - L_1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]L_4 \rightarrow L_4 - L_1[/tex3]

Resultando
[tex3]\begin{pmatrix}
i & i & 0 & 1 \\
0 & -i-3 & 1 & 4i \\
0 & -1 & -1 & 2i \\
0 & 3-i & 2 & -i-1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
i & i & 0 & 1 \\
0 & -i-3 & 1 & 4i \\
0 & -1 & -1 & 2i \\
0 & 3-i & 2 & -i-1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Troque a segunda linha pela quarta

Resultando
[tex3]\begin{pmatrix}
i & i & 0 & 1 \\
0 & 3-i & 2 & -i-1 \\
0 & -1 & -1 & 2i \\
0 & -i-3 & 1 & 4i \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
i & i & 0 & 1 \\
0 & 3-i & 2 & -i-1 \\
0 & -1 & -1 & 2i \\
0 & -i-3 & 1 & 4i \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Vá para a terceira linha da matriz e faça
[tex3]L_3 \rightarrow L_3 - (-\frac{3}{10} - \frac{i}{10})L_2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]L_3 \rightarrow L_3 - (-\frac{3}{10} - \frac{i}{10})L_2[/tex3]

Resultando
[tex3]\begin{pmatrix}
i & i & 0 & 1 \\
0 & 3-i & 2 & -i-1 \\
0 & 0 &-\frac{2}{5} +\frac{i}{5} & -\frac{1}{5} + \frac{8i}{5} \\
0 & -i-3 & 1 & 4i \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
i & i & 0 & 1 \\
0 & 3-i & 2 & -i-1 \\
0 & 0 &-\frac{2}{5} +\frac{i}{5} & -\frac{1}{5} + \frac{8i}{5} \\
0 & -i-3 & 1 & 4i \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Para linha 4 faça
[tex3]L_4 \rightarrow L_4 - (-\frac{4}{5} - \frac{3i}{5})L_2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]L_4 \rightarrow L_4 - (-\frac{4}{5} - \frac{3i}{5})L_2[/tex3]

Resultando
[tex3]\begin{pmatrix}
i & i & 0 & 1 \\
0 & 3-i & 2 & -i-1 \\
0 & 0 &-\frac{2}{5} +\frac{i}{5} & -\frac{1}{5} + \frac{8i}{5} \\
0 & 0 & \frac{13}{5} + \frac{6i}{5} & -\frac{1}{5} + \frac{13i}{5} \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
i & i & 0 & 1 \\
0 & 3-i & 2 & -i-1 \\
0 & 0 &-\frac{2}{5} +\frac{i}{5} & -\frac{1}{5} + \frac{8i}{5} \\
0 & 0 & \frac{13}{5} + \frac{6i}{5} & -\frac{1}{5} + \frac{13i}{5} \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Troque a terceira linha pela quarta

Resultando
[tex3]\begin{pmatrix}
i & i & 0 & 1 \\
0 & 3-i & 2 & -i-1 \\
0 & 0 & \frac{13}{5} + \frac{6i}{5} & -\frac{1}{5} + \frac{13i}{5} \\
0 & 0 &-\frac{2}{5} +\frac{i}{5} & -\frac{1}{5} + \frac{8i}{5} \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
i & i & 0 & 1 \\
0 & 3-i & 2 & -i-1 \\
0 & 0 & \frac{13}{5} + \frac{6i}{5} & -\frac{1}{5} + \frac{13i}{5} \\
0 & 0 &-\frac{2}{5} +\frac{i}{5} & -\frac{1}{5} + \frac{8i}{5} \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Faça
[tex3]L_4 \rightarrow L_4 -(-\frac{4}{41} + i\frac{5}{41})L_3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]L_4 \rightarrow L_4 -(-\frac{4}{41} + i\frac{5}{41})L_3[/tex3]

Resultando
[tex3]\begin{pmatrix}
i & i & 0 & 1 \\
0 & 3-i & 2 & -i-1 \\
0 & 0 & \frac{13}{5} + \frac{6i}{5} & -\frac{1}{5} + \frac{13i}{5} \\
0 & 0 &0 & \frac{4}{41} + \frac{77i}{41} \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
i & i & 0 & 1 \\
0 & 3-i & 2 & -i-1 \\
0 & 0 & \frac{13}{5} + \frac{6i}{5} & -\frac{1}{5} + \frac{13i}{5} \\
0 & 0 &0 & \frac{4}{41} + \frac{77i}{41} \\
\end{pmatrix}[/tex3]

O determinante será o produto dos elementos da diagonal principal.
[tex3]det = (-1)^3i(3 -i)( \frac{13}{5} + \frac{6i}{5})( \frac{4}{41} + \frac{77i}{41}) = (17 +i)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]det = (-1)^3i(3 -i)( \frac{13}{5} + \frac{6i}{5})( \frac{4}{41} + \frac{77i}{41}) = (17 +i)[/tex3]

Espero ter ajudado!

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professor acabei de postar outra rrsrsr

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professor a resposta correta é essa .

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Editei a resposta!

[gerlanmatfis]

Obrigado professor!!você é nota 10. Até a proxima