Ensino Médio ⇒ Função de segundo grau Tópico resolvido

[leomaxwell]

De todos os retângulos de mesmo perímetro, o quadrado é aquele que possui maior área. Demonstre.

Se possível, gostaria de uma demonstração usando máximos e mínimos da função, porque é onde essa questão está inserida. Obrigado!

[Lucabral]

Olá você,
Supondo um retângulo de perímetro 80.Vamos analisar quais são os valores de suas dimensões que vão fornecer a área máxima.
1º Passo: Sendo x o comprimento e y a largura,então o perímetro é 2x+2y=80,simplificando x+y=40,logo y=40-x

Para o cálculo da área: A= x.y, substituindo o valor de y.
A= x.(40-x)
A=40x-x²
Colocando x em evidência: x(40-x)=0
Ou seja, x=0 ou x=40 .

No gráfico essas serão as raízes. A parábola terá concavidade para baixo e estará relacionando a dimensão x e a Área. Para alcançar a área máxima,o Xvértice pode ser obtido por uma média aritmética das raízes no caso [tex3]\frac{40+0}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{40+0}{2}[/tex3]

=20 .
Desse modo a dimensão x do retângulo mede 20.
Substituindo na equação do perímetro x+y=40 você encontrará que y=20. Logo esse quadrilátero possuirá área máxima quando suas dimensões forem iguais,ou seja quando for um quadrado.

Espero ter ajudado.
Bjs