de centro C(8, 7), conforme mostra a figura.
- imagem.png (8.64 KiB) Exibido 4890 vezes
a medida do segmento DB é:
resposta: 3 [tex3]\sqrt{10}[/tex3]
Pré-Vestibular ⇒ (UEA-2014) Geometria Analítica Tópico resolvido
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rayssa1234 
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Set 2017
09
10:27
(UEA-2014) Geometria Analítica
Os pontos A(4, 4), D (3, k) e B pertencem à mesma circunferência
de centro C(8, 7), conforme mostra a figura. Sabendo que o segmento AB é um diâmetro dessa circunferência,
a medida do segmento DB é:
resposta: 3 [tex3]\sqrt{10}[/tex3]
de centro C(8, 7), conforme mostra a figura. Sabendo que o segmento AB é um diâmetro dessa circunferência,
a medida do segmento DB é:
resposta: 3 [tex3]\sqrt{10}[/tex3]
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rippertoru 
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Set 2017
09
12:09
Re: (UEA-2014) Geometria Analítica
Olá.
O raio da circunferência é
[tex3]d_ac = \sqrt{(4 - 8)^2 + (4 - 7)^2} = 5[/tex3]
Para encontrar o valor de k, aplica D(3,k) na equação da circunferência [tex3](x - 8)^2 + (y -7)^2 = 25[/tex3]
[tex3](3 - 8)^2 + (k -7)^2 = 25[/tex3]
[tex3](-5)^2 + (k -7)^2 = 25[/tex3]
[tex3]25 + (k -7)^2 = 25[/tex3]
[tex3]k = 7 [/tex3] , logo D(3,7)
A distância [tex3]d_{ad}[/tex3] , é
[tex3]d_{ad} = \sqrt{(4-3)^2 + (4 - 7)^2}= \sqrt{10}[/tex3]
Aplicando o teorema de pitagoras
[tex3](d_{ac} + d_{cb})^2 = d_{ad}^2 + d_{db}^2[/tex3]
[tex3](10)^2 = (\sqrt{10})^2 + d_{db}^2[/tex3]
[tex3]100 - 10 = d_{db}^2[/tex3]
[tex3]d_{db} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}[/tex3]
Espero ter ajudado!!
O raio da circunferência é
[tex3]d_ac = \sqrt{(4 - 8)^2 + (4 - 7)^2} = 5[/tex3]
Para encontrar o valor de k, aplica D(3,k) na equação da circunferência [tex3](x - 8)^2 + (y -7)^2 = 25[/tex3]
[tex3](3 - 8)^2 + (k -7)^2 = 25[/tex3]
[tex3](-5)^2 + (k -7)^2 = 25[/tex3]
[tex3]25 + (k -7)^2 = 25[/tex3]
[tex3]k = 7 [/tex3] , logo D(3,7)
A distância [tex3]d_{ad}[/tex3] , é
[tex3]d_{ad} = \sqrt{(4-3)^2 + (4 - 7)^2}= \sqrt{10}[/tex3]
Aplicando o teorema de pitagoras
[tex3](d_{ac} + d_{cb})^2 = d_{ad}^2 + d_{db}^2[/tex3]
[tex3](10)^2 = (\sqrt{10})^2 + d_{db}^2[/tex3]
[tex3]100 - 10 = d_{db}^2[/tex3]
[tex3]d_{db} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}[/tex3]
Espero ter ajudado!!
Última edição: rippertoru (Sáb 09 Set, 2017 12:09). Total de 1 vez.
Sem sacrifício não há vitória.
-
Polímero17 
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Out 2019
21
12:11
Re: (UEA-2014) Geometria Analítica
Olá, rippertoru! Como posso concluir que o triangulo é retângulo?
Sei que a hora de resolver a questão o que importa é que o resultado esteja certo kkkk
Mas fiquei com essa dúvida, porque sei que nem sempre o triângulo vai ser retângulo.
Sei que a hora de resolver a questão o que importa é que o resultado esteja certo kkkk
Mas fiquei com essa dúvida, porque sei que nem sempre o triângulo vai ser retângulo.
-
rippertoru
- Mensagens: 494
- Registrado em: Ter 23 Mai, 2017 16:46
- Última visita: 24-08-23
- Localização: Paraíba
Out 2019
21
15:23
Re: (UEA-2014) Geometria Analítica
Olá.Polímero17 escreveu: ↑Seg 21 Out, 2019 12:11Olá, rippertoru! Como posso concluir que o triangulo é retângulo?
Sei que a hora de resolver a questão o que importa é que o resultado esteja certo kkkk
Mas fiquei com essa dúvida, porque sei que nem sempre o triângulo vai ser retângulo.
Para provar que o triângulo da figura é retângulo, o produto entre os coeficientes angulares das retas AD e DB deve ser -1. Para confirmar isso, temos que calcular o ponto B. Uma das alternativas para o calculo de B é por meio de semelhança entre triângulos:
[tex3]\frac{AC}{AB} = \frac{AC'}{4 + w} [/tex3]
[tex3]\frac{5}{10} = \frac{4}{4+w}[/tex3]
[tex3]w = 4[/tex3]
[tex3]\frac{CC'}{h} = \frac{4'}{8} [/tex3]
[tex3]\frac{3}{h} = \frac{4}{8}[/tex3]
[tex3]h = 6[/tex3]
Assim B é
[tex3]B(8 + 4, 4 + 6) [/tex3]
[tex3]B(12,10)[/tex3]
Os coeficientes angulares das retas AD e DB são, respectivamente
[tex3]m_{AD} = \frac{7-1}{3-4} = \frac{3}{-1} = -3[/tex3]
[tex3]m_{DB} = \frac{10-7}{12-3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}[/tex3]
Assim:
[tex3]m_{AD}\times m_{DB} = \frac{1}{3}\times -3 = -1[/tex3]
Logo, as retas são perpendiculares, caracterizando assim um triangulo retângulo.
Caso seja um triangulo qualquer, podemos utilizar o mesmo procedimento para encontrar o valor de B, e calcular a distância entre D e B, dessa forma
[tex3]D_{DB} = \sqrt{(12-3)^2 + (10-7)^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}[/tex3]
- Anexos
-
- Screenshot_1.png (12.71 KiB) Exibido 2654 vezes
Sem sacrifício não há vitória.
Out 2019
21
15:42
Re: (UEA-2014) Geometria Analítica
Só um adendo, além da explicação do colega acima, uma outra justificativa para este triângulo ser retângulo vem da geometria plana.
Veja q um dos lados do [tex3]\Delta ADB[/tex3] é o diâmetro da circunferência circunscrita e como o arco [tex3]AB=180°\implies \angle BDA=90°, \ pois \ \angle BDA \ é \ um \ ângulo\ inscrito \ que \ enxerga \ o \ arco \ AB[/tex3] .
Veja q um dos lados do [tex3]\Delta ADB[/tex3] é o diâmetro da circunferência circunscrita e como o arco [tex3]AB=180°\implies \angle BDA=90°, \ pois \ \angle BDA \ é \ um \ ângulo\ inscrito \ que \ enxerga \ o \ arco \ AB[/tex3] .
"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".
Out 2019
21
16:57
Re: (UEA-2014) Geometria Analítica
Isso, essa é a explicação mais simples.rodBR escreveu: ↑Seg 21 Out, 2019 15:42Só um adendo, além da explicação do colega acima, uma outra justificativa para este triângulo ser retângulo vem da geometria plana.
Veja q um dos lados do [tex3]\Delta ADB[/tex3] é o diâmetro da circunferência circunscrita e como o arco [tex3]AB=180°\implies \angle BDA=90°, \ pois \ \angle BDA \ é \ um \ ângulo\ inscrito \ que \ enxerga \ o \ arco \ AB[/tex3] .
-
Polímero17
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Out 2019
21
21:33
Re: (UEA-2014) Geometria Analítica
AHHH Entendi, muito obrigado pessoal 
Todas as explicações de vcs foram esclarecedoras.
Mas.... só não consegui visualizar o triangulo semelhante.Na hora do [tex3]AC^{'}[/tex3] não entendi com quem vc, rippertoru, estava comparando.
Todas as explicações de vcs foram esclarecedoras.
Mas.... só não consegui visualizar o triangulo semelhante.Na hora do [tex3]AC^{'}[/tex3] não entendi com quem vc, rippertoru, estava comparando.
Última edição: Polímero17 (Seg 21 Out, 2019 21:57). Total de 2 vezes.
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