Olimpíadas ⇒ POTI (Nível 2) - Produtos Notáveis e Paridade Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:19191)]

Seja D = a² + b² + c² , sendo a e b inteiros consecutivos e c = ab. Mostre que [tex3]\sqrt{D}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{D}[/tex3]

é sempre um inteiro ímpar.

Alguém tem alguma solução mais 'rápida' ?
Vejam se minha solução está errada em algum ponto, se estiver, corrijam-me por favor. Agradeço desde já !

Minha solução :
Mostrar que [tex3]\sqrt{D}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{D}[/tex3]

é ímpar equivale a mostrar que D é ímpar,neste caso, usando os dados do enunciado,temos :
D = a² + b² + c² => D + 2ab = (a + b)^2 + c² => D = (a + b)^2 + c² - 2c => D - 1 = (a + b)^2 + (c - 1)^2
Analisando os casos de paridade :

D - 1 é ímpar (D é par) => (a + b)^2 + (c - 1)^2 é ímpar => (a + b)^2 e (c - 1)^2 tem paridades diferentes
1) (a + b)^2 -> é par,logo a e b tem paridades iguais | (c - 1)^2 é ímpar,logo c é par
2) (a + b)^2 -> é ímpar,logo a e b tem paridades diferentes | (c - 1)^2 é par,logo c é ímpar
Mas c = ab
par = impar x ímpar, par = par x par (F)
ou
ímpar = par x ímpar , ímpar = ímpar x par (F)

É falso,logo
D - 1 (D é par) não pode ser ímpar,então D - 1 é par => D é ímpar => [tex3]\sqrt{D}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{D}[/tex3]

é ímpar

[undefinied3]

Não vi erro na sua solução de paridade, mas veja que em motivo nenhum você provou o essencial antes de partir para paridade: que [tex3]\sqrt{D}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{D}[/tex3]

é inteiro.
Veja, sua solução vai por um caminho mais difícil. É importante utilizarmos tudo que o enunciado nos dá antes de partirmos para a prova do desejado.

Primeira coisa: a e b são inteiros consecutivos. Então tome, sem perda de generalidade, [tex3]a=k[/tex3]

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[tex3]a=k[/tex3]

e [tex3]b=k+1[/tex3]

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[tex3]b=k+1[/tex3]

.
Segunda coisa: [tex3]c=ab[/tex3]

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[tex3]c=ab[/tex3]

, então [tex3]c=k(k+1)=k^2+k[/tex3]

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[tex3]c=k(k+1)=k^2+k[/tex3]

Agora substituímos tudo na equação de [tex3]D[/tex3]

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[tex3]D[/tex3]

:
[tex3]D=a^2+b^2+c^2=k^2+(k+1)^2+(k^2+k)^2=k^2+k^2+2k+1+k^4+2k^3+k^2=k^4+2k^3+3k^2+2k+1[/tex3]

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[tex3]D=a^2+b^2+c^2=k^2+(k+1)^2+(k^2+k)^2=k^2+k^2+2k+1+k^4+2k^3+k^2=k^4+2k^3+3k^2+2k+1[/tex3]

Está vendo como a equação é simétrica? Isso é importante, pois trata-se de uma equação recíproca que pode ser resolvida com a substituição [tex3]y=k+\frac{1}{k}[/tex3]

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[tex3]y=k+\frac{1}{k}[/tex3]

. Veja que isso implica [tex3]y^2=k^2+2+\frac{1}{k^2}[/tex3]

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[tex3]y^2=k^2+2+\frac{1}{k^2}[/tex3]

[tex3]D=k^4+2k^3+3k^2+2k+1 \rightarrow \frac{D}{k^2}=k^2+2k+3+\frac{2}{k}+\frac{1}{k^2}=y^2+1+2y=(y+1)^2[/tex3]

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[tex3]D=k^4+2k^3+3k^2+2k+1 \rightarrow \frac{D}{k^2}=k^2+2k+3+\frac{2}{k}+\frac{1}{k^2}=y^2+1+2y=(y+1)^2[/tex3]

[tex3]D=k^2(y+1)^2=(ky+k)^2=(k.(k+\frac{1}{k})+k)^2=(k^2+k+1)^2[/tex3]

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[tex3]D=k^2(y+1)^2=(ky+k)^2=(k.(k+\frac{1}{k})+k)^2=(k^2+k+1)^2[/tex3]

Então [tex3]\sqrt{D}=k^2+k+1[/tex3]

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[tex3]\sqrt{D}=k^2+k+1[/tex3]

, e provamos que tal número é um inteiro, pois k é inteiro.
Agora, para provarmos que [tex3]\sqrt{D}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{D}[/tex3]

é ímpar, veja:
[tex3]k^2+k+1=k(k+1)+1[/tex3]

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[tex3]k^2+k+1=k(k+1)+1[/tex3]

Obviamente k e k+1 possuem paridades distintas, portanto seu produto será par, pois um deles é par. Ao somarmos 1 ao resultado, ele sempre será ímpar. E assim está demonstrado.

[Auto Excluído (ID:19191)]

Agradeço pela resposta. Estou iniciando agora nesse mundo de olimpíadas. Problemas olímpicos são meio 'diferentes' do que estamos acostumados a resolver em escolas e vestibulares