Ensino FundamentalÂngulos - Geometria Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Fundamental devem ser postados aqui (exceto problemas de Vestibulares).

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Babi123
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Ângulos - Geometria

Mensagem não lida por Babi123 »

Na figura a seguir encontre o valor do ângulos [tex3]x[/tex3] :
ângulo x.png
ângulo x.png (63.9 KiB) Exibido 836 vezes
a) 30° b) 37° c) 45° d) 53° e) 26°30'


Obs: Não tenho gabarito.




Auto Excluído (ID:12031)
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Re: Ângulos - Geometria

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

tem a ver com mostrar que as aturas do triângulo ai dentro cruzam os lados e as retas que unem os centros do círculos com o pé da altura de x em um mesmo ponto

Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Qua 17 Jan, 2018 04:51). Total de 2 vezes.



Auto Excluído (ID:12031)
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Jan 2018 18 16:31

Re: Ângulos - Geometria

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

Seja [tex3]AB[/tex3] o diâmetro do círculo grande, [tex3]A[/tex3] na esquerda e [tex3]B[/tex3] na direita. [tex3]P[/tex3] o vértice do ângulo [tex3]x[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] o pé da altura de [tex3]P[/tex3] em [tex3]AB[/tex3] . [tex3]E,F[/tex3] os pontos de contato dos círculos menores em relação ao diâmetro [tex3]AB[/tex3] , [tex3]E[/tex3] na esquerda e [tex3]F[/tex3] na direita.
Tomemos o círculo centrado em [tex3]A[/tex3] de raio [tex3]AP[/tex3] . A inversão da reta [tex3]PQ[/tex3] em relação à este círculo será um círculo que passa pelo centro de inversão, logo passa por [tex3]A[/tex3] e também passa por [tex3]P[/tex3] e seu simétrico em relação ao diâmetro AB. Portanto A reta [tex3]PQ[/tex3] é invertida no círculo maior. Obviamente então o círculo maior é invertido de volta na reta [tex3]PQ[/tex3] e a reta [tex3]AB[/tex3] é invertida nela mesma. Logo o inverso do círculo que passa por [tex3]F[/tex3] é um círculo tangente à [tex3]PQ[/tex3] , ao círculo original e à reta [tex3]AB[/tex3] e os dois contém o ponto de encontro do círculo AP com o passando por F ou seja: é ele mesmo. Isso implica que o ponto [tex3]F[/tex3] é inalterado na inversão e portanto está no círculo centrado em [tex3]A[/tex3] e de raio [tex3]AP[/tex3] .

Portanto [tex3]AP = AF[/tex3] e analogamente [tex3]BP = BE[/tex3]

então os triângulos [tex3]APF[/tex3] e [tex3]BPE[/tex3] são isósceles, seja [tex3]\alpha = \angle PAB[/tex3] e então [tex3]90-\alpha = \angle PBA[/tex3]
[tex3]\angle EFP = 90 - \frac{\alpha}2[/tex3] e [tex3]\angle FEP = 90 - (\frac{90-\alpha}2) = 45 + \frac{\alpha}2[/tex3] e então [tex3]\angle EPF = 45^{\circ}[/tex3]
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Qui 18 Jan, 2018 16:55). Total de 2 vezes.



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Babi123
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Re: Ângulos - Geometria

Mensagem não lida por Babi123 »

Obrigada pela bela solução. Ótimo sousóeu! :lol:



Auto Excluído (ID:12031)
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Nov 2018 23 03:57

Re: Ângulos - Geometria

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

talvez eu venha a referenciar mais vezes essa resposta, então vou deixar aqui uns links sobre o que são essas inversões que eu mencionei:

wikipedia

pdf em inglês, didático




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